Особенности математической абстракции

      Математика  постоянно оперирует различными бесконечными совокупностями абстрактных  объектов. Простейший пример такой совокупности – это натуральный ряд чисел: 1, 2, 3 … Чтобы прийти к мысли о неограниченном продолжении этого ряда, необходимо было абстрагироваться как от ограниченности нашей жизни в пространстве и во времени, так и от имеющихся в нашем распоряжении материальных средств (бумага, ручка и т. д.).

      Как рассказывает история развития техники  счета простейшей абстракцией, видимо, была абстракция “фактической” осуществимости, с помощью которой мы можем  различать осуществимые на практике процессы от неосуществимых.

      Но  уже понятие о натуральном  ряде чисел, который можно продолжать неограниченно, предполагает использование  абстракции потенциальной осуществимости. Здесь мы отвлекаемся от существенной возможности написать или произнести какое угодно большое число: всякий раз, когда мы доходим до числа n, мы допускаем возможность написания следующего числа (n + 1).

      В философии математики рассматривали  две основные формы бесконечности  – актуальную и потенциальную. Отсюда шло разделение абстракции осуществимости на фактическую и потенциальную.

      Идея  актуальной бесконечности лежит  в основе всей классической математики.

      Понятие бесконечности представляет собой  результат абстракции. Реальная бесконечность  имеет количественный и качественный характер.

Качественный характер бесконечности выражается в бесконечном многообразии в пространстве и времени. Важной чертой реальной бесконечности является ее неисчерпаемость.

      Любое математическое построение, доказательство теоремы, решение задачи, рассуждение  – имеет конечный характер. Но не всякое число построений может быть фактически выполнено. Например, если построение требует триллион (10¹²) шагов для существования, то такое построение следует считать неосуществимым.

      А можно представить числа, для  написания которых не хватит ни времени, ни бумаги тысяч поколений.

      Между тем в математике оперируют не только такими огромными конечными числами, но и числами бесконечными, трансфинитными.

      Наиболее  естественной является абстракция “фактической”  осуществимости. Здесь учитываем разницу между осуществимостью объекта, который требует для своего построения небольшого числа шагов, и объекта, построение которого предполагает астрономическое число таких шагов.

      Понятие “фактической” бесконечности широко используется в приложениях математики к естествознанию и технике, где интересуются лишь приближенными результатами.

      Одна  из первых концепций бесконечности  была выдвинута философом-материалистом  Анаксогором (около 500–428 гг. до н. э.) Началом  всего сущего Анаксогор считал “гомеомерии” – бесконечное число элементов материи. Процесс деления тела бесконечен, утверждал он, поэтому нет смысла говорить о его конечном результате. Следовательно, не существует наименьших неделимых частиц. Число частиц, из которых состоит данная вещь всегда можно увеличить: “сама по себе каждая вещь, и велика и мала”.

      Следовательно, бесконечное существует в обе  стороны. Это была формулировка бесконечно большого и бесконечно малого как  возможности увеличения сверх любой  заданной величины и возможности  неограниченного деления.

      Зенон, Демокрит, позднее Аристотель занимались проблемами бесконечности. Аристотель понимал, что наука о природе не может отказаться от понятия бесконечного, и не раз повторял своим ученикам: “Исследуя природу, надо исследовать вопрос бесконечности”. На вопрос: “что же такое бесконечность?” Аристотель отвечал: “Бесконечность не следует понимать как человека или дома, а в том смысле, как, скажем, день или состязание, которое все время находится в возникновении и уничтожении”. И чтобы сделать свою мысль более ясной для окружающих, добавлял: “бесконечность – то, что не может быть пройдено. И то не простое повторение одного и того же, а процесс, который все время приводит к новому и новому”. И далее: “Бесконечность – абстракция, которую математик применяет, познавая действительность”. Аристотель рассматривал бесконечность, как процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и нет последнего.

      Первым  среди древних ученых, кто применил понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед. Он вычислил площадь круга как предел вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон неограниченно возрастает, т. е. стремится к бесконечности. 
В дальнейшем Архимед усовершенствовал свой метод, использовав его не только для вычисления свойств различных фигур и тел. Например, он вписал призму в цилиндр. Посредством предельного перехода объяснил, как можно вычислить объем цилиндра, неограниченно увеличивая число боковых граней призмы. Так как основание цилиндра есть круг, а основание призмы – многоугольник, то эта задача аналогична первой.

      Новый этап в развитии представлений о  бесконечности связан с созданием  математического анализа – изобретением дифференциального и интегрального  исчисления, которое справедливо считается одним из величайших достижений науки XVII в.

      Одним из крупнейших событий в истории  естествознания и человеческой мысли  вообще, было появление Ньютоновского  труда “Математические начала натуральной  философии”. Интересы Ньютона целиком были сосредоточены на физике. Именно физические задачи привели его к открытию исчисления бесконечно малых.

      Одновременно  с Ньютоном над дифференциальным исчислением работал Лейбниц. С 90-х гг. XVII столетия математический анализ стал быстро распространяться в форме, предложенной Лейбницем, которая была предпочтительнее благодаря общности, удобству обозначений и подробной разработке различных приемов.

      От  абстрактных рассуждений древних  философов о бесконечном, человек  пришел к практическим операциям с бесконечностями.

      Разработка  нового математического метода была вызвана к жизни потребностями  развивающихся наук. Введение понятия  “предел” помогло уяснить природу  бесконечно малых величин.

      С точки зрения этой теории бесконечно малая – это переменная величина, предел которой равен 0:

       .

      Строго  говоря, величина называется бесконечно малой, если, начиная с какого-то момента, ее численные значения сделаются и будут оставаться меньше наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

      Таким образом, бесконечно малые стали  рассматриваться как процесс, т. е. не как актуальная, а как потенциальная  бесконечность. Если говорить совершенно строго, то потенциальная бесконечность абсолютно не пригодна для решения практических задач. Ведь потенциальная бесконечность – это “вечно незавершенный процесс”.

      Другими словами, одно дело – осуществимость потенциальной бесконечности в  теории, и совсем другое дело – на практике. Воспользуемся современным примером из области теоретической кибернетики. С точки зрения этой науки осуществим любой алгоритм, даже если он требует бесконечного числа шагов. Но реальный компьютер не в силах решить подобную задачу. Такой расчет лежит за пределами его возможностей – ведь он обладает конечной памятью и способен осуществить хотя и очень большое, но конечное число операций.

      Впрочем, математики находят выход из положения: совсем не обязательно достигать  бесконечности: на каком-то шаге можно остановиться и вести все расчеты с определенной степенью точности, достаточной, чтобы решение имело практический смысл. Скажем, при вычислении числа π, т. е. отношения длины окружности к ее диаметру, вовсе не обязательно находить бесконечное число знаков после запятой. Вполне можно ограничиться, например, пятью, а то и двумя знаками. Для практических математических операций этого вполне достаточно.

      Науке известны различные и совершенно конкретные типы бесконечности.

      1. Практическая бесконечность (или физическая). Речь идет о таких больших величинах, которые формально хотя и конечны, но в рамках той или иной задачи фактически настолько велики или малы, что воспринимаются как практически бесконечные.

      Примеров  можно привести достаточно много. С точки зрения ядерной физики расстояние в один микрон бесконечно велико, а с точки зрения астрономии расстояние в один сантиметр бесконечно мало.

      2. Теоретико-множественная  бесконечность – наиболее простая (наглядная) бесконечность натуральных чисел или множества, содержащие бесконечное число элементов.

      3. Метрическая бесконечность. В геометрии и астрономии рассматриваются такие пространственные многообразия площадей или объемов, которые нельзя выразить конечным числом.

      Существует  еще один бесконечный процесс – бесконечное приближение числовой последовательности к некоторому пределу.

      Это не только математическая конструкция, с такого рода процессами наука встречается  и в природе. Скажем, можно как  угодно близко подойти к абсолютному  нулю температуры или к скорости света в пустоте, но мы никогда в реальном физическом процессе не достигнем этих величин в точности.

      4. Один из важнейших типов бесконечности – неисчерпаемость реального мира. С одной стороны, это бесконечность числа физических явлений и условий, которые реализуются в природе, а с другой, – бесконечный характер процесса познания мира человеком.

      Итак, бесконечность – не условная математическая конструкция, она отражает реальные свойства окружающего нас мира.

      Мир бесконечно разнообразен. Наши знания о нем всегда относительны – они имеют определенные границы применимости. Где пролегают эти границы – заранее не известно. Поэтому нередко совершаются попытки применять существующие научные представления к описанию таких явлений, которые на самом деле нам не подвластны. Так возникает заблуждение – незнание, временно применяемое за знание.

      Казалось  бы, проблема бесконечного принадлежит  к числу самых абстрактных  ученых проблем, имеющих весьма отдаленное отношение к практической деятельности людей и их повседневной жизни.

      Бесконечность – объективное свойство окружающего  нас мира.

      Самая большая сложность в процессе познания окружающего нас мира в  том, что исследователю никогда  не удается поставить последнюю  точку и считать миссию науки  в изучении того или иного вопроса полностью завершенной.

      С развитием математического счета  человек естественно и закономерно  пришел к числовой бесконечности.

      Если  прибавлять к единице единицу, мы будем получать все большие и  большие числа. Но подобную операцию можно повторять сколько угодно раз. Значит, самого большого числа не существует, натуральный ряд не имеет конца, ничем не ограничен, он теряется где-то в необозримых числовых пространствах.

      О реально существующих пространствах  и их бесконечности ведут дискуссии  ученые всего мира: философы, математики, физики, астрономы. Одной из проблем, которая не раз подвергалась обсуждению философов, астрономов и физиков, является проблема бесконечности Вселенной.

      В частности, на протяжении ряда лет развивается  принципиально новый подход к  этой проблеме. Во главе её исследователей долгое время стоял эстонский академик Густав Иоганнович Наан.

      В нашем распоряжении нет какого-то окончательно установленного понятия  бесконечности – такова исходная позиция ученого.

      Само  это понятие непрерывно развивается, всегда лишь приблизительно отражая реальную бесконечность.

      “Проблема бесконечности состоит не в том, – подчеркивает академик,– соответствует ли Вселенная тому или иному из наших эталонов бесконечности, а в том, насколько наш непрерывно совершенствуемый эталон бесконечности соответствует различным аспектам реальной бесконечности Вселенной”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                Заключение

      Математическая  наука в отличие от качественных наук описывает материальный мир главным образом с количественной стороны. Из диалектического единства качественной и количественной сторон всех многообразных явлений бесконечной природы и человеческого общества, несомненно, вытекает, что такая специфическая наука, сосредоточивающаяся лишь на количественных сторонах явлений, должна была возникнуть и существовать как самостоятельная наука, и как наука, обязательно присутствующая во всех остальных фундаментальных и прикладных науках и их практических приложениях. Вот почему математику издавна называют “царицей” и “служанкой” всех наук, а в настоящее время говорят о значительной степени математизации знания и о законах построения математических моделей различных явлений и процессов. Главным инструментом математических исследований являются математические величины, которые могут описать практически все предметы и явления.