Определение матрицы

1. Определение матрицы

 

Матрицей  называется прямоугольная таблица  чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины).

 

 

2. Определение квадратной матрицы

 

Матрица, у  которой число строк равно  числу столбцов, называется квадратной.

 

3. Определение единичной матрицы

 

Диагональная  матрица, у которой каждый элемент  главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

 

4. Определение треугольной матрицы

 

Квадратная  матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны  нулю.

 

5. Операции над матрицами

 

Сложение  матриц - поэлементная операция

Вычитание матриц - поэлементная операция

Произведение  матрицы на число - поэлементная операция

Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

 

 

Возведение  в степень

m>1 целое положительное число. А  - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально  только для квадратных матриц

Транспонирование  матрицы А. Транспонированную матрицу  обозначают A^T или A'

Строки  и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

 

6. Определение обратной матрицы

 

Матрица A ^{− 1} называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если

A · A − 1 = A − 1 · A = E ,

где E — единичная матрица n –ого порядка.

 

7. Определение определителя

 

Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,...

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице  .

 

8. Свойства определителя

Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):   , где   и т. д. — строчки матрицы,   — определитель такой матрицы.

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы  совпадают, то её определитель равен  нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель                        умножается на (-1).

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести  за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен  нулю.

Сумма произведений всех элементов  любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов  любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей.

С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

 

Определитель квадратной матрицы 3*3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами- столбцами матрицы.

 

9. Методы вычисления определителя третьего порядка

 

Разложение по строке или столбцу

Формулы разложения по строке или  столбцу:

Первые n формул называются формулами  разложения определителя по строке, а  вторые n формул называются формулами  разложения определителя по столбцу.

В этих формулах  - алгебраические дополненияэлементов а_ij матрицы А, где M_ij — миноры элементов а_ij матрицы А.

Минором M_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij/

Правило Саррюса

Дописывание двух первых строк или  столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 — а12*а21*а33

Пример 32.2

Вычислить определитель  двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника:

Решение:

 

 

 

 

1. Свойства предела функции

 

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

А

Аналогично предел разности двух функций  равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы

Предел суммы нескольких функций  равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3. Предел произведения функции на постоянную величину. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения 
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

 

 

2. Определение предела функции

Определения предела функции. Пусть E — некоторое множество

действительных (E ⊂ R) и x0 — предельная точка множества E. Пусть f : E → R —

вещественная функция, определенная на E.

 

 

 

 

3. Определение бесконечно малой величины

 

Переменная   называется бесконечно малой, если для любого   существует такое значение   , что каждое следующии за ним значение   будет по абсолютной величине меньше   .

Если   - бесконечно малая то говорят, что   стремится к нулю, и пишут:   .

 

4. Определение бесконечно большой величины

 

Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа cсуществует такое значение   , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше   . Пишут: 

Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно.

 

5. Раскрытие неопределенностей предела функции

 

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь   - бесконечно малая величина, а   - бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

 
Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто  используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов  ,  ,   пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей  типа   используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей  типа   существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей  типа   иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть   и 

 

6. Определение производной

 

Определение. Производной функции   называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

 

 

7. Определение дифференциала

 

Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу в этой точке можно представить в виде

 

Dу = f’(х)Dх+a(Dх)Dх,

где a (Dх) = 0

 

 

 

 

 

 

 

8. Правила дифференцирования

 

 

При дифференцировании константу  можно выносить за производную:  
  
 
Правило дифференцирования суммы функций:  
  
 
Правило дифференцирования разности функций:  
  
 
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):  
  
 
Правило дифференцирования частного функций:  
  
 
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:  
  
 
Правило дифференцирования сложной функции:  
  
 
Правило логарифма при дифференцировании функции:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Таблица производных некоторых основных элементарных функций

 

 

10. Определение первообразной функции

 

Функция F называется  функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка 
 
                   (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Определение неопределенного интеграла

 

Совокупность всех первообразных  функции f (x) на (a,b)

называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

символом: ò

f (x)dx.

ò

f (x)dx = F(x) +C

f (x) - подынтегральная функция, dx- дифференциал независимой переменной,

f (x)dx - подынтегральное выражение.

 

12. Таблица интегралов

13. Определение определенного интеграла

 

Предел от суммы   при   , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции   в пределах от   до   и обозначается:

14. Формула Ньютона-Лейбница

 

даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла  и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

 

Данная формула верна для  любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

 

15. Вычислить произведение матриц.

Решение:

 

 

Ответ: .

16. Найти матрицу обратную данной

Решение:

Найдем определитель матрицы:

Найдем алгебраические дополнения элементов :

Значит, обратная матрица имеет вид:

 

Ответ:  .

17. Найти матрицу  С=В^t+А, если А= , В=

Решение:

Транспонируем матрицу В: .

Тогда

Ответ:  .

18. Вычислить определитель

Решение:

 

 

Ответ:  5.

 

19. Найти предел функции 

Решение:

  ,т.к. при х→∞ дроби  являются

бесконечно  малыми величинами.

Ответ: .

 

20. Найти производную функции 

 

Решение:

Ответ:  .

21. Найти дифференциал функции 

 

Решение:

 

Ответ:  .

22. Вычислить интеграл 

Решение:

Выделим целую  часть у дроби:

 

Тогда

 

Ответ: .