Обратная матрица

Обратная  матрица 
 
 
 

Обратная  матрица

Матрица A -1 - обратная для матрицы

A, если

AA -1 =A -1 A=I

Для квадратной матрицы A обратная существует

тогда и  только тогда, когда detA 0.

где A ij - алгебраические дополнения элементов a ij

матрицы A. Свойства: (A -1 ) -1 =A,

(AB) -1 =B -1 A

-1 , detA -1 =1/detA

В частности:

Решение квадратной системы:

Ax=b

если A 0, то x=A

-1 b

Матричные уравнения.

XA=B X=BA -1

AX=B X=A -1

B

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина  определителя не изменится, если  каждую

строку  заменить столбцом с тем же номером.

2. Если  матрица B получена из матрицы  A

перестановкой двух каких-либо ее строк

(столбцов*), то det B= detA.

3. Общий  множитель всех элементов произвольной

строки (столбца*) определителя можно вынести  за

знак  определителя.

4.* Определитель, содержащий две пропорциональные  строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель  не меняется от прибавления  к

какой-либо его строке (столбцу*) другой его  строки

(столбца), умноженной на произвольное число.

6.* Если  какая-либо строка (столбец) определителя

есть  линейная комбинация других его строк

(столбцов), то определитель равен 0.

7. Если  матрица имеет треугольный вид,  то ее

определитель  равен произведению элементов на

главной диагонали.

*-неизученные  свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системой решений называется

система из (n-r) линейно независимых решений, где

n- число  неизвестных, r-ранг матрицы системы:

ФСР : l 1 ,l 2 ,...,l

n-r

ФСР может  быть бесконечное множество.

Если l 1 ,l 2 ,...,l n-r дополнения элементов a ij

матрицы A. Свойства: (A -1 ) -1 =A,

(AB) -1 =B -1 A

-1 , detA -1 =1/detA

В частности:

Решение квадратной системы:

Ax=b

если A 0, то x=A

-1 b

Матричные уравнения.

XA=B X=BA -1

AX=B X=A -1

B

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина  определителя не изменится, если каждую

строку  заменить столбцом с тем же номером.

2. Если  матрица B получена из матрицы  A

перестановкой двух каких-либо ее строк

(столбцов*), то det B= detA.

3. Общий  множитель всех элементов произвольной

строки (столбца*) определителя можно вынести за

знак  определителя.

4.* Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель  не меняется от прибавления  к

какой-либо его строке (столбцу*) другой его  строки

(столбца), умноженной на произвольное число.

6.* Если  какая-либо строка (столбец) определителя

есть  линейная комбинация других его строк

(столбцов), то определитель равен 0.

7. Если  матрица имеет треугольный вид,  то ее

определитель  равен произведению элементов на

главной диагонали.

*-неизученные  свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системой решений называется

система из (n-r) линейно независимых решений, где

n- число  неизвестных, r-ранг матрицы системы:

ФСР : l 1 ,l 2 ,...,l

n-r

ФСР может  быть бесконечное множество.

Если l 1 ,l 2 ,...,l n-r -ФСР однородной системы, то

x оо = с  1 l 1 +с 2 l 2 +...+с n-r l

n-r

x он = x оо + x чн

Метод Крамера:

Если =0 и не все x j

=0, то  система несовместна.

Если 0, то система имеет единственное решение, 
 

Рассмотрим  квадратную матрицу 

A = . 

Обозначим Δ = det A. 

Квадратная  матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или  особенной, если Δ = 0. 

Квадратная  матрица В называется обратной для  квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. 

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела  обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен  от нуля. 

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1. Обратная матрица вычисляется по формуле 

А-1 = 1/Δ , (4.5) 

где Аij - алгебраические дополнения элементов aij. 

Вычисление  обратной матрицы по формуле (4.5) для  матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.