Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика

            Основная теорема  алгебры многочленов утверждает, что многочлен  имеет ровно корней  с учетом их кратности:

,

 – комплексные корни многочлена кратности соответственно, .

      2. Если  многочлен рассматривается над множеством действительных чисел:

,

 – действительное переменное, - действительные коэффициенты, и комплексное число является корнем, то число , сопряженное этому числу, также будет являться корнем многочлена.

      В этом случае разложение многочлена на множители над множеством действительных чисел принимает вид:

.

Здесь

 – действительные корни многочлена кратности соответственно, многочлены вторых степеней имеют комплексно сопряженные корни кратности соответственно, сумма кратностей корней  . 

Многочлен раскладывается на множители:

.

Разложение  свидетельствует о том, что многочлен  имеет пару простых комплексно сопряженных  корней и действительный корень кратности 2.

      Многочлен раскладывается на множители:

.

Он имеет  действительные корни  , причем оба корня кратности 2.  
 

      Представление рациональных функций

      Рассмотрим  функции вида

,

где – многочлены степени и соответственно.

      Если  степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. ,

то функция  называется правильной рациональной дробью, в противном случае, когда степень числителя не меньше степени знаменателя, т.е. ,  функция называется неправильной рациональной дробью.

      Функция   есть пример правильной рациональной дроби. 

     Функция дает пример неправильной рациональной дроби.

      Неправильная  дробь раскладывается делением числителя  на знаменатель в сумму:

      

.

Здесь – многочлен (n–m)-ой степени, называемый целой часть неправильной дроби , второе слагаемое есть отношение многочленов k-ой  и m-ой степеней, где k<m, и называется правильной частью дроби .

      Введем  в рассмотрение так называемые элементарные дроби. К таковым относят дроби вида

1. , где – действительные числа, – натуральное число;
2. , где - действительные числа, - натуральное число; многочлен 2-ой степени, стоящий в знаменателе, не имеет действительных корней.

Дроби вида 1 будем называть элементарными  дробями первого типа, дроби

вида 2 – элементарными дробями иторого  типа.

      Теорема. Правильная рациональная дробь

с действительными  коэффициентами раскладывается в сумму элементарных дробей. При этом, если

,

где

1. - попарно различные действительные корни многочлена кратности соответственно,
2. многочлены второй степени не имеют действительных корней, т.е. для любого

,

     - пара комплексно сопряженных корней многочлена ,

3. ,

то  справедливо разложение 

 

. 

Здесь - некоторые однозначно определяемые константы.

      Теорема утверждает, что разложение правильной рациональной дроби определяется корнями  знаменателя, причем

• действительному корню кратности , отвечает серия из элементарных дробей первого типа

 

• паре комплексно сопряженных корней , кратности , , отвечает серия из элементарных дробей второго типа

.

      Умение  раскладывать правильные дроби на сумму  элементарных дробей востребуется, в  частности,  при интегрировании функций.