Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика
Лекция, 19 Февраля 2012, автор: пользователь скрыл имя
Описание
Понятие множества является одним из основных первичных понятий математики. Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов произвольной природы. Множества обозначают обычно заглавными буквами A, B, C, D, … латинского алфавита, а элементы множества – соответствующими прописными буквами - a, b, c, d, … . Задаются множества перечислением элементов или с помощью свойства, которым все элементы данного множества обладают. В последнем случае означенное свойство называют характеристическим свойством множества.
Работа состоит из 1 файл
Множества+и+функции.doc
— 758.00 Кб (Скачать документ) Основная теорема
алгебры многочленов
– комплексные корни многочлена кратности соответственно, .
2. Если многочлен рассматривается над множеством действительных чисел:
– действительное переменное, - действительные коэффициенты, и комплексное число является корнем, то число , сопряженное этому числу, также будет являться корнем многочлена.
В этом случае разложение многочлена на множители над множеством действительных чисел принимает вид:
Здесь
– действительные корни многочлена
кратности
соответственно, многочлены вторых
степеней имеют комплексно сопряженные
корни кратности
соответственно, сумма кратностей
корней
.
Многочлен раскладывается на множители:
Разложение свидетельствует о том, что многочлен имеет пару простых комплексно сопряженных корней и действительный корень кратности 2.
Многочлен раскладывается на множители:
Он имеет
действительные корни
, причем оба корня кратности 2.
Представление рациональных функций
Рассмотрим функции вида
где – многочлены степени и соответственно.
Если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. ,
то функция называется правильной рациональной дробью, в противном случае, когда степень числителя не меньше степени знаменателя, т.е. , функция называется неправильной рациональной дробью.
Функция есть пример правильной рациональной дроби.
Функция дает пример неправильной рациональной дроби.
Неправильная дробь раскладывается делением числителя на знаменатель в сумму:
Здесь – многочлен (n–m)-ой степени, называемый целой часть неправильной дроби , второе слагаемое есть отношение многочленов k-ой и m-ой степеней, где k<m, и называется правильной частью дроби .
Введем в рассмотрение так называемые элементарные дроби. К таковым относят дроби вида
- , где – действительные числа, – натуральное число;
- , где - действительные числа, - натуральное число; многочлен 2-ой степени, стоящий в знаменателе, не имеет действительных корней.
Дроби вида 1 будем называть элементарными дробями первого типа, дроби
вида 2
– элементарными дробями
Теорема. Правильная рациональная дробь
с действительными коэффициентами раскладывается в сумму элементарных дробей. При этом, если
где
- - попарно различные действительные корни многочлена кратности соответственно,
- многочлены второй степени не имеют действительных корней, т.е. для любого
- пара комплексно сопряженных корней многочлена ,
- ,
то
справедливо разложение
Здесь - некоторые однозначно определяемые константы.
Теорема утверждает, что разложение правильной рациональной дроби определяется корнями знаменателя, причем
- действительному корню кратности , отвечает серия из элементарных дробей первого типа
- паре комплексно сопряженных корней , кратности , , отвечает серия из элементарных дробей второго типа
Умение раскладывать правильные дроби на сумму элементарных дробей востребуется, в частности, при интегрировании функций.