Михаил Васильевич Остроградский

Воспоминания

Из речи проф. Е. Ф. Сабинина. Цит. по кн.: Б. В. Гнеденко. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1952, стр. 247—248.

«Остроградский любил возбуждать в учащихся соревнование и тем напрягать их мысль, и умел иногда поощрить их одним словом, которым, конечно, страшно дорожил, что служило сильным подстрекательством для занятия.

...Остроградский, по обыкновению, экзаменовал выпускной класс, который должен был поступить на его курс. Эти его экзамены висели, как Дамоклов меч, над головами выпускников. Характер его экзаменов наводил панический страх потому, что он пытал, главным образом, способность и сообразительность и не придавал большого значения тем вопросам, где могла играть большую роль память, т. е. тому, что можно было задолбить».

Из воспоминаний В. А. Панаева. Цит. по кн.: Б. В. Гнеденко. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1952. стр 248—250.

«Остроградский был признанным научным авторитетом в области математики и механики. О том, как велик был его научный авторитет, можно судить хотя бы по тем словам, которыми в то время нередко напутствовали молодых людей, отправляющихся учиться в высшие учебные заведения: «Становись Остроградским!».

Б. В. Гнеденко. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1952, стр. 3.

Научные достижения

Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории упругости и магнетизма, теории вероятностей. Он внёс также вклад в алгебру и теорию чисел.

Хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций (1844). В физике чрезвычайно полезна формула Остроградского для преобразования объёмного интеграла в поверхностный.

В последние годы жизни Остроградский опубликовал исследования по интегрированию уравнений динамики. Его работы продолжили Н. Д. Брашман и Н. Е. Жуковский.

Он не отказывался ни от какой математической работы, способной принести практическую пользу. Так, например, с целью облегчить работу по проверке товаров, поставляемых армии, М. В. Остроградский занялся математическим исследованием, посвященным статистическим методам браковки и основанным на применении теории вероятности.

Кроме научных исследований, Остроградский написал ряд замечательных учебников по высшей и элементарной математике («Программа и конспект тригонометрии», «Руководство начальной геометрии» и др.).

Кратные интегралы.

Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным интегралам.

Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в двойной, которую мы пишем обычно в виде

   (1)

или

,

где div A – дивергенция поля вектора А, Аn – скалярное произведение вектора А на единичный вектор внешней нормали n граничной поверхности, в математической литературе нередко связывалась ранее с именами Гаусса и Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно усмотреть только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0  и т. п. Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и магнетизма формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между тройным и двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа, которую можно записать в виде

     (2)

Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая

     и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но Грин этого и не думал делать.

Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не вполне ясным. Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре Пуассона по теории упругости, выводится формула

где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной поверхности, причем суть направляющие косинусы внешней нормали.

Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной несомненностью, что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно так, как это делают теперь в “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”, представленном Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г., после чего еще раз была сформулирована в той части “Мемуара о распространении тепла внутри твердых тел ”, которую Остроградский представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на отзыв  Фурье и Пуассону, причем последний его, безусловно читал, как свидетельствует запись на первых  страницах обеих частей рукописи. Разумеется, Пуассону и не приходила мысль приписывать себе теорему, с которой он познакомился в сочинении Остроградского за два года до представления своей работы на теории упругости.

Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам Остроградского и Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты” выведена формула, обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный случай. Непривычная теперь символика Коши, употребленная Остроградским в “Заметке”, до недавнего времени скрывала от исследователей это важное открытие. Разумеется,  за Грином остается честь открытия и первой публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа. 

Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло Остроградскому решить проблему варьирования  п-кратного интеграла, именно, вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от выражения типа дивергенции по  п- мерной области и интеграл по ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид

  (3)

Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов, которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не существовала.

В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов”  рассмотрены еще два важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский выводит формулу замены переменных  в многомерном интеграле; во-вторых, впервые дает полное и точное описание приема вычисления п- кратного интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре, легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из наличных в мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие математики даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.

Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с помощью формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако,  хотя результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы исходил из того, что элементы объемов в старых и новых переменных – координатах – между собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в только что упомянутом выводе правила замены переменных Остроградский. В статье “О преобразовании переменных в кратных интегралах” Остроградский раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые изложил тот наглядный геометрический метод преобразования переменных в двойном интеграле, который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших руководствах. Именно, при замене переменных  в интеграле по формулам , , область интегрирования разбивается координатными линиями двух систем u=const,  v=const на бесконечно малые криволинейные четырехугольники. Тогда интеграл можно получить, складывая сначала те его элементы, которые отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем, продолжая суммировать элементы полосами, пока они все не будут исчерпаны. Несложный подсчет дает для площади, которая с точностью до малых высшего порядка может рассматриваться как параллелограмм, выражение   , где  , выбирается так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается известная формула

.

Так дифференциальное выражение , которое Эйлер формально подставлял вместо dydx, а следуя рассуждениям Лагранжа для трехмерного случая, нужно было бы считать равным dydx, приобрело у Остроградского простой и ясный геометрический смысл.

Дифференциальные уравнения.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания два результата Остроградского. В «Заметке о методе последовательных приближений», предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью разложения в ряд по малому параметру, позволяющей избегать так называемых вековых членов, содержащих аргумент вне тригонометрических функций. Такие члены нередко появляются при употреблении обыкновенных приемов интегрирования с помощью степенных рядов; неограниченно возрастая  вместе с аргументом, они порождают ошибочные приближения, а содержащее их решение оказывается неподходящим. С этим явлением встречались еще астрономы XVIII в. и задачей уничтожения вековых членов занимались Лаплас, Лагранж и другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру как самого решения, так и периода входящих в него периодических функций, Остроградский кратко пояснил на примере:

,    ,

который записал в несколько иной форме:

,

совпадающей с данным уравнением при . Решение с точностью до величин первого порядка относительно , найденное обычным способом, содержит вековой член:

;

решение по способу Остроградского от него свободно:

,  .

Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным решением уравнения в эллиптических функциях Якоби. Остроградский  ограничился получением первого приближения; в конце статьи он высказал намерение приложить этот метод к движению планет вокруг Солнца. Намерение это, видимо, не осуществилось, но как раз в работах  по определению орбит небесных тел идея Остроградского получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось исследование по теории возмущений шведского ученого А. Линдстедта, работавшего в 1879 – 1886 гг. в Дерптском университете.  За этим последовали глубокие исследования А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова и, уже в советский период, Н. М. Крылова, который применил к нему и другим, более общим классам линейных неоднородных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр, несколько модифицированный им метод Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра широко применяется к исследованию нелинейных задач механики, физики и техники.

Небольшая “Заметка о линейных дифференциальных уравнениях” Остроградского (1839) содержит классическую теорему, которая излагается теперь в любом курсе дифференциальных уравнений. Дано уравнение

.

и п его решений , которые предполагаются линейно независимыми. Согласно теореме Остроградского определитель

выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:

,

где а – постоянная. Мы называем определитель  по имени впервые рассмотревшего его (в другой связи и более общей форме) польского математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно получена из несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).

Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными задачами современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи, из которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам по баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по приближенным вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г., содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

Список литературы

1.   http://ru.wikipedia.org/wiki/

2.   http://to-name.ru/biography/mihail-ostrogradskij.htm

3