Методы решения задачи Коши

Лабораторная Работа: 
«Методы решения задачи Коши»

Цель:

 

Решить на отрезке                      задачу Коши с начальными условиями:

 

 

 

 

 

Методы для решения:

• Эйлера
• Рунге-Кутты IV порядка
• Тейлора II порядка

Найти точное решение и  построить графики.

Общие сведения:

 

Название метода	Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутты  IV порядка	Метод Тейлора II порядка
Формула:
0-устойчивость	+	+	+
А-устойчивость	+	+
Порядок точности	O(h)	O(h5)	O(h3)

Нахождение точного  решения:

 

Возьмем уравнение:                                  - это дифференциальное уравнение  с разделяющимися переменными.

 

 

Разделим переменные:

 

 

 

Нахождение точного  решения:

 

Общее решение:

 

 

 

Найдем точно решение, подставив начальные условия:

 

 

                 

                

 

Нахождение точного  решения:

 

Построим график точного  решения (используя пакет MathCad 14) при                     ,                                    :

 

 

Нахождение точного  решения:

Нахождение решения  методом Эйлера:

 

Найдем решение методом  Эйлера и построим графики:

 

 

Нахождение решения  методом Эйлера:

Нахождение решения  методом Рунге-Кутты IV порядка:

 

Найдем решение методом  Рунге-Кутты IV порядка. Используем встроенную функция rkfixed с параметрами: искомое число, начало интервала, конец интервала, количество шагов, функция.

 

 

 

 

 

Нахождение решения  методом Рунге-Кутты IV порядка:

Нахождение решения  методом Тейлора II порядка:

 

Найдем значения методом  Тейлора II порядка и построим графики (с помощью MatchCad 14):

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение решения  методом Тейлора II порядка:

Сравнение точности методов:

 

Для того, чтобы выявить  наиболее точный метод, объединим графики:

• С шагом 0,1
• С шагом 0,05
• С шагом 0,1 и 0,05

 

Сравнение точности методов (шаг 0,1):

 

График 1

Сравнение точности методов (шаг 0,05):

 

График 2

Сравнение точности методов (шаг 0,1 и 0,05):

 

График 3

Вывод:

 

Итак, сравнив все методы решения, можно сделать вывод, что  наиболее точным является метод Рунге-Кутты  IV порядка с шагом h=0,05. Самым не точным методом является метод Эйлера с шагом h=0,1.

Таблица значений (шаг 0,1)

 

х	Точное	Метод Эйлера	Метод Р-К IV п.т.	Метод Тейлора II п.т.
0	0.5	0.5	0.5	0.5
0,1	0.7692	0.7	0.7687	0.755
0,2	1.25	0.994	1.2472	1.1949
0,3	2	1.3892	1.9902	1.8963
0,4	2.5	1.7752	2.4846	2.5287
0,5	2	1.7752	1.9862	1.8893
0,6	1.25	1.1449	1.2454	1.0882
0,7	0.7692	0.6206	0.7689	0.7023
0,8	0.5	0.3895	0.5004	0.4817
0,9	0.3448	0.2681	0.3452	0.3444
1	0.25	0.1962	0.2502	0.2548
h=0,1

Таблица значений (шаг 0,05)

 

х	Точное	Метод Эйлера	Метод Р-К IV п.т.	Метод Тейлора II п.р.
0	0.5	0.5	0.5	0.5
0,05	0.615	0.6	0.6154	0.614
0,1	0.769	0.726	0.7692	0.764
0,15	0.976	0.8841	0.9755	0.965
0,2	1.25	1.0795	1.2498	1.231
0,25	1.6	1.3126	1.5995	1.571
0,3	2	1.5711	1.9992	1.967
0,35	2.353	1.8179	2.3518	2.334
0,4	2.5	1.9831	2.4988	2.502
0,45	2.353	1.9831	2.3518	2.345
0,5	2	1.7865	1.9991	1.965
0,55	1.6	1.4673	1.5994	1.558
0,6	1.25	1.1444	1.2497	1.218
0,65	0.976	0.8825	0.9755	0.957
0,7	0.769	0.6878	0.7692	0.76
0,75	0.615	0.5459	0.6154	0.612
0,8	0.5	0.4416	0.5	0.499
0,85	0.412	0.3636	0.4124	0.413
0,9	0.345	0.3041	0.3448	0.346
0,95	0.292	0.2579	0.292	0.294
1	0.25	0.2213	0.25	0.252
h=0,05