Федеральное агентство образования Российской Федерации

Саратовский Государственный  Университет им. Н.Г. Чернышевского

Механико-Математический факультет

Кафедра Математического Анализа

 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

Тема:

Методы  использования дифференциального исчисления в задачах естествознания

 
 
 
 
 

Выполнил  студент

1 курса, 191 группы,

дневного отделения 
мех.-мат. факультета

Суслов  Александр Сергеевич 

Научный руководитель

Комиссарова Наталья Евгеньевна 

Зав. кафедры, профессор физико-математических наук Прохоров Дмитрий Валентинович 

Саратов 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

                                                                                                                                       

Теоретическая часть                                                                                                4

Основные  понятия дифференцируемости функции.                                            4

Практическая  часть                                                                                          6

Глава I. Движение тела переменной массы.                                                    6

Глава II. Барометрическая формула.                                                                8

Глава III. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.             10

Примеры решения задач                                                                                 13

1. Барометрическая формула.                                                                  13
2. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.                 13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                    15

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ                                                                                                    16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

мы разберем несколько довольно далеких друг от друга

по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяснится, име-

ют довольно близкие математические модели. Модель эта — не что иное,

как простейшее дифференциальное уравнение для  интересующей нас в зада-

че функции. С разбора одного такого примера  — задачи двух тел — мы,

кстати, вообще начинали построение дифференциального  исчисления. Иссле-

дование той системы уравнений, которую мы при этом получили, пока нам

недоступно. Здесь же будут рассмотрены вопросы, которые можно до конца

решить  уже на нашем нынешнем уровне.

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теоритическая Часть. 

Основные  понятия дифференцируемости функции.  
 

Определение: Функция f: Е ⟶ R, определенная на множестве Е

• R, называется дифференцируемой в точке a Е, предельной для множества

Е, если существует такая линейная относительно приращения х — а аргумента 

функция А • (х — а), что приращение f(x) — f(а) функции f представляется в

виде 

f(x) —  f(a) = А • (х — а) + о(х - а)  при х ⟶ а, х

Е. 

Иными словами, функция дифференцируема в точке  а, если изменение ее

значений  в окрестности исследуемой точки  линейно с точностью до поправки,

бесконечно  малой по сравнению с величиной х — а смещения от точки а.

Замечание: Как правило, дело приходится иметь с функциями, опреде-

ленными в целой окрестности рассматриваемой  точки, а не только на каком-то

подмножестве  этой окрестности.

Определение: Линейная функция А • (х — а) из предыдущего определения называется диф-

ференциалом функции f в точке а.

Дифференциал  функции в точке определен  однозначно, следует

= = A

и в силу единственности предела число А  определено однозначно.

Определение: Величина

f' (a) =

называется  производной функции f в точке а.

Соотношение можно переписать в эквивалентной  форме 

= f' (a) + α(x)

где α (х) ⟶ 0 при х ⟶ а, х

Е, что в свою очередь равносильно соотношению

f(x) - f(a) = f'(a)(x - а) + о(x - a) при х ⟶ а,  х

Е

Таким образом, дифференцируемость функции равносильна  наличию у нее 

производной в соответствующей точке.

Если  сопоставить эти определения  с тем, что было сказано в пункте 1, то

можно заключить, что производная характеризует  скорость изменения функ-

ции в  рассматриваемой точке, а дифференциал доставляет наилучшую линей-

ную аппроксимацию  приращения функции в окрестности  рассматриваемой 

точки.

Если  функция f : Е ⟶ R дифференцируема в различных точках множе-

ства  Е, то при переходе от одной точки к другой как величина А, так и

функция о(х — а) могут меняться.

Указанное обстоятельство следует отметить уже  в самом определении диф-

ференцируемой функции, и мы приведем теперь это  основное определение в 

его полной записи.

Определение: Функция f: Е ⟶ К, заданная на множестве Е

R

называется  дифференцируемой в точке х

Е, предельной для множества Е,

если 

f(x+h) –  f(x) = A(x)h + α(x;h), 

где h ⟶ A(x)h — линейная относительно h функция, а α(x;h) = o(h) при

h ⟶ 0, x + h

Е.

Величины

Δx(h) := (x + h) — x = h

и

Δf(х; h) := f(x + h) – f(х)

называют  соответственно приращением аргумента  и приращением функции 

(соответствующим  этому приращению аргумента).

Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Δх и Δ/(х)

самих функций  от h.

Итак, функция  дифференцируема в точке, если ее приращение в этой

точке как  функция приращения аргумента h является линейной с точностью

до поправки, бесконечно малой при h ⟶ 0 в сравнении с приращением аргу-

мента. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть.

Глава I

Движение  тела переменной массы. 
 

Рассмотрим  ракету, переме-

щающуюся  прямолинейно в открытом космосе  далеко от притягивающих масс

 

Пусть М(t) — масса ракеты (с топливом) в  момент t; V(t) — ее скорость

в момент t; ω — скорость (относительно ракеты) истечения топлива из сопла

ракеты  при его сгорании.

Мы хотим  установить взаимосвязь между этими  величинами.

В силу сделанных предположений, ракету с  топливом можно рассматри-

вать  как замкнутую систему, импульс (или  количество движения) которой

поэтому остается постоянным во времени.

В момент t импульс системы равен M(t)V(t).

В момент t + h импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен 

M(t + h) V(t + h), а импульс ΔI выброшенной за это время массы |ΔМ| =

= |M(t + h) — M(t)| = —(M(t + h) — M(t)) топлива заключен в пределах

(V(t) - ω)|АМ| < ΔI < (V(t + h) - ω)| ΔМ|,

т. е. ΔI = (V(t) — ω)| ΔМ| + α(h)|ΔМ|, причем из непрерывности V(t) следует,

что α(h) → 0 при h → 0.

Приравнивая импульсы системы в моменты t и t + h, имеем

M(t)V(t)= M(t + h) V(t + h)+ (V(t) - ω) )|ΔМ|+ α(h)|ΔМ|,

или, после  подстановки |ΔМ| = — (M(t +h) — M(t)) и упрощений,

M(t + h) (V(t + h)-V(t))= - ω( M(t + h)-M(t)) + α(h)(M(t + h) - M(t)).

Деля  последнее равенство на h и переходя к пределу при h→0, получаем

M(t)V'(t)= -ωM'(t).                                          (1)

Это и  есть искомое соотношение между  интересующими нас функциями 

V(t), M(t) и  их производными.

Теперь  надо найти связь между самими функциями V(t), M(t), исходя из

соотношения между их производными. Вообще говоря, такого рода задачи

много труднее  задач нахождения соотношений между  производными при из-

вестных соотношениях между функциями. Однако в нашем случае вопрос