Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей у старшій школі з використанням мультимедійних засобів навчання

 

 (3)

 

Усі перетворення рівносильні, бо на області визначення даного рівняння можна виконувати перетворення (1) - (2) - (3) і обернені перетворення (3) - (2) - (1). Скоротивши в рівнянні (3) дріб на ( на області визначення), дістанемо рівносильне рівняння:

 

 (4).

Це рівняння за означенням логарифма рівносильне рівнянню

 

 (5).

 

Звідси  . Оскільки ці значення входять в область визначення рівняння і ніяких додаткових обмежень у нас не було, то - корені даного рівняння.

Слід звернути увагу  учнів на те, що при розв’язуванні  логарифмічних рівнянь можна  користуватися не тільки рівносильними  перетвореннями, але й діставати  рівняння-наслідки (коли ми гарантуємо тільки прямі перетворення і не гарантуємо обернені). Учні повинні розуміти, що при використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороніх коренівь і тому в цьому випадку перевірка є складовою частиною розв’язування рівняння.

Слід звернути увагу учнів на те, що певної акуратності потребує використання формули переходу від однієї основи до іншої:

 

 

де  , , , .

Якщо  і -числа, що недорівнюють одиниці, то цю формулу можна застосовувати і зліва направо і справа наліво (при ), тобто використання цієї формули при розв’язуванні рівнянь або нерівностей приводить до рівняння (нерівності), рівносильного даному. Якщо ж новою основою логарифма є вираз із змінною, то може виявитися, що цей вираз на області визначення початкового рівняння дорівнюватиме одиниці, а після застосування формули переходу від однієї основи до іншої вираз, що стоїть в основі логарифма, вже не дорівнюватиме одиниці. В цьому випадку застосування формули переходу від однієї основи до іншої може привести до втрати тих коренів початкового рівняння, для яких нова основа логарифма дорівнює одиниці.

Підсумовуючи ці міркування, робимо висновки: якщо при переході від однієї основи логарифмів до іншої  нова основа - число (звичайно більше від  нуля і не дорівнює одиниці), то дістанемо рівняння, рівносильне даному на його області визначення.

Якщо доводиться використовувати  вираз із змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два  випадки:

вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення розглядуваного рівняння), і перевіряємо, чи будуть ці значення змінної, при яких вираз дорівнює одиниці, коренями даного рівняння;

нова основа не дорівнює одиниці - в цьому випадку користаємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Бажано звернути увагу  учнів на те, що деякі логарифмічні рівняння, які зведені до вигляду  можна розв’язати за допомогою розкладання лівої частини рівняння на множники.

Досить часто зустрічаються  рівняння, члени яких є степенями, в яких основа і показник степеня - функції від змінної величини.

Приклад: Розв’язати рівняння

 

.

 

Розв’язання: Область  визначення: . Тоді ліва і права частини цього рівняння додатні на області визначення. Прологарифмуємо обидві частини за основою 4:

 

.

 

Дістаємо рівняння, рівносильне  даному на області визначення:

 

.

 

Позначимо і, врахувавши, що , маємо:

 

 

Звідки  або .

Тоді  або . Отже,

 

 або  .

 

Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.

Підводячи підсумки розв’язування  цього рівняння, бажано звернути увагу  учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить  і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах  учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.

Слово «найчастіше» присутнє в наведеному правилі в зв’язку  з рівняннями типу:

 

.

 

На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню: 

 

,

 

яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню  

 

.

 

Звідси  (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).

Після відпрацювання  цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою

 

, де  , . 

 

Зауваження. Очевидно, що при  цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.

Необхідно звернути увагу  учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись  для розв’язування різних типів  рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростіших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо:

 

, тобто  ).

 

Враховуючи те, що в  останні 40-50 років у старших класах середньої школи реалізується функціональний підхід до рівняння, будемо вважати, що степені, в яких і основа, і показник степеня є функціями від змінної величини, означені тільки для тих значень змінних, при яких їх основи додатні (якщо в самій умові задачі не сказано протилежне).

 

3.2 Логарифмічні нерівності

 

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень  нерівностей. Ця схема іноді дає  надмірну систему обмежень, яку можна  суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи  обмежень майже не впливає на об’єм роботи щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівність, а потім намагатися спростити утворену систему.

Приклад: Розв’язати нерівність

 

 

Розв’язання: Оскільки , то . Тоді функція - спадна, і наша нерівність рівносильна системі:

 

 

Нерівність (2) є наслідком  нерівностей (3) і (1) . Отже, ця система рівносильна системі, що складається тільки з нерівностей (1) і (3), тобто

 

 

Розв’язуючи окремо нерівності (1) і (3), дістаємо: для 

 

(1) - ;

 

для (3) - .

 

Тоді загальним розв’язком системи буде

 

.

 

Слід звернути увагу  учнів на те, що при розв’язуванні  логарифмічних нерівностей можна  використовувати всі ті прийоми, які використовувалися при розв’язуванні  логарифмічних рівнянь.

Розв’язування деяких нерівностей за допомогою рівносильних перетворень досить громіздке, і тому використовуємо для розв’язування деяких нерівностей узагальнений метод інтервалів.

Приклад: Розв’язати нерівність.

 

 

 

Розв’язання: Методом  інтервалів.

Область визначення.

 

 тобто

 

Корені 

 

.

 

Це рівняння на області  визначення рівносильне рівнянню

 

.

 

Звідки  або (входять до області визначення).

Позначимо корені на області  визначення (на малюнку) і знайдемо знак у кожному інтервалі, на які  розбивається область визначення.

 

+ - + - - +

 

0 1 2 3

 

Відповідь:

 

 

4. Фрагменти уроків з використанням  мультимедійної дошки та проектора.

 

1.Запускаємо слайд,  на якому учням повідомляється  тема і мета заняття.

 

 

2. математичний диктант  (показуємо слайд, а учні самостійно  записують відповіді на листочках)

 

 

3. наступний слайд  учні та вчитель розглядають  усно 

 

 

4. далі вчитель пропонує учням  по черзі виходити і на мультимедійній  дошці розв’язувати завдання.

 

 

5. далі хтось один  розв’язує рівняння біля дошки  а всі інші – в зошитах

 

 

 

 

 

Бачимо що в даному фрагменті значно економиться час  на диктовку завдань учням – вони розв’язують вже записані завдання.

При перевірці домашнього завдання можна використовувати  Графопроектор (кодоскоп). На приклад, домашнім завданням було розв’язати нерівність:

 

.

 

Одразу показуємо розв’язання  і учні звіряють чи правильно вони розв’язали дану нерівність.

 

 

При поясненні нового матеріалу (приклад слайду):

 

 

Сьогодні нові інформаційні технології міцно увійшли в усі  сфери життєдіяльності нашого суспільства. Інформатизація освіти є одним із пріоритетних напрямків програми розвитку освіти. При цьому очевидно, що завдання інформатизації освіти не можна звести тільки до завдання наповнення шкільних класів сучасною обчислювальною технікою. Поява в ліцеї комп'ютерного та математичного класів має вплинути на весь процес навчання. Використання комп'ютерної техніки та інформаційних технологій значно підвищує ефективність процесу навчання завдяки його індивідуалізації, зворотному зв'язку, розширенню наочності. Сьогодні інформаційні технології розкривають матеріал так, як це неможливо зробити за допомогою традиційних технологій. Існують різні форми використання новітніх інформаційних технологій, але найпростішою з них є презентація, коли комп'ютер відіграє роль і дошки, і підручника, і дидактичного посібника. Використання цієї форми дає низку переваг:

можливість забезпечити  учневі індивідуальний режим роботи;

можливість представити  різну інформацію кожному учневі в різному вигляді;

великі можливості оформлення інформації: використання широкої кольорової гами при оформленні слайдів, різноманітних шрифтів і, звичайно, ефекти анімації; ,..

оптимізація роботи вчителя  при підготовці уроку (організація  уроків, які потребують великої кількості  дидактичного матеріалу — ілюстрацій, схем, діаграм), при проведенні контролю знань (одночасно дозволяє використовувати різні види контролю і перевірки знань: тести, завдання знайти помилку у тексті, продовжити речення тощо).

 

Висновки

 

Отже використання комп'ютерних технологій на уроках математики дозволяє зробити процес навчання цікавим, наочним, дозволяє здійснити індивідуальний і диференційований підхід з боку вчителя.

У курсі алгебри використання комп'ютерних технологій (КТ) дає  можливість проводити дослідницькі роботи на з'ясування і встановлення різних закономірностей. Високий рівень наочності забезпечує більшу успішність при поясненні нового матеріалу. Використання КТ дозволяє підвищити ефективність навчання, раціонально використовувати навчальний час, з'являється можливість по-новому реалізовувати міжпредметні зв'язки.

При проведені дослідження  були виконані такі завдання:

1. Була опрацьована  навчально–методична література  по даній темі;

2. Підібраний теоретичний  матеріал по темі «Логарифмічні  рівняння та нерівності»;

3. Розглянуті основні  методи та прийоми викладу  матеріалу;

4. Досліджено доцільність та необхідність використання мультимедійних засобів навчання та їх вплив на навчальний процес;

5. Були розроблені  фрагменти уроків по даній  темі з використанням мультимедійних засобів навчання.

 

Список використаних джерел

 

1. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.,: «Зодіак-ЕКО», 2000.
2. Інтерактивні технології на уроках математики: Навч. - метод. Посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа». 2007 – 126с.
3. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Метод проектів. Комп’ютерні технології. Розвивальне навчання / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Тріада». 2007 – 171с.
4. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Розвиток критичного мислення: Навч. – метод. посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа». 2007 – 125с
5. Капіносов А.М. Основи технології навчання. Проектуємо урок математики – Х.: Вид. група «Основа». 2006.–140с.
6. Кларин М.В. Интерактивное обучение – инструмент освоения нового опыта // Педагогика. – 2000. – № 7. – с. 12–18.
7. Пометун О.І, Пироженко Л.В. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід. – К., 2002.
8. Пометун О.І., Пироженко Л.В. Сучасний урок. Інтерактивні технології навчання: Наук.-метод. пос. – К.: Вид-во А.С.К., 2003. – 192 с.
9. Систематизація методів розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей/ Т.І. Іванко // Математика в школах України.- 2007. – березень (№ 7). С. 16-21.
10. Логарифмічні рівняння // Математика. – 2004. – квітень (№ 14). с 7-10.
11. Логарифмічні та показникові нерівності // Математика в школі. – 2004. - № 1. с.20-22.
12. Розв’язування логарифмічних нерівностей / Н.М. Повзло // Математика в школах України. – 2006. – квітень (№ 11). с. 7-17.