Математические методы исследования операций в экономике

Математические  методы исследования операций в экономике

Основные  определения 

 Исследование  операций (ИО) –  это применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности (Вентцель Е.С. Введение в ИО).

 Исследование  операций (ИО) –  это применение математических методов для моделирования систем и анализа их характеристик (Таха Х, Введение в ИО).

 Операция – всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

 Исследовать операцию – найти наилучшее решение, в условиях, когда имеют место ограничения (экономического, технического и др. характера).

 Решение – определенный выбор зависящих от организатора параметров.

 

     Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений (Вентцель Е.С. Введение в ИО).

 Цель исследования операций заключается в том, чтобы выявить наилучший (оптимальный) способ действий при решении той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера (Таха Х. Введение в ИО).

 Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

 Эффективность операции — количественно выражается в виде критерия эффективности — целевой функции.

 Для применения количественных методов  исследования требуется построить  математическую модель операции.

 Экономико-математическая модель — достаточно точное описание исследуемого экономического процесса или объекта с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.). 

Этапы исследования операций  

       Усложнение производства, техники и организационной структуры общества приводит к тому, что принятие решений и эффективное руководство все больше и больше нуждаются в широкой, точной и быстрой информации, количественной оценке и прогнозе результатов, последствий принятых решений. Назначение методов исследования операций – объективно разобраться в каждом явлении, численно оценить предлагаемые целенаправленные действия и, возможно, предложить варианты решений, отличные от тех, которые рассматривали хозяйственные или другие руководители.

       Несмотря на многообразие задач, возникающих в экономике (задача оптимального планирования инвестиций, формирование минимальной потребительской корзины, организация рекламной деятельности, составление штатного расписания, определение специализации предприятия и т.д.), при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование

Операционное  исследование:  

1. Постановка  задачи
2. Идентификация переменных
3. Построение математической модели
4. Анализ модели, или решение задачи с помощью выбранного метода
5. Анализ решения
6. Проверка адекватности модели
7. Реализация полученного решения.

Краткое описание каждого этапа 

1, 2. Постановка задачи  является одним из наиболее  важных этапов исследования операций. Здесь необходимо определить  цель, преследуемую субъектом управления (ЛПР), и установить, значение каких характеристик исследуемой системы (процесса) можно варьировать (управляемые переменные), а изменение значений каких переменных не зависит от решений ЛПР (неуправляемые). Кроме того, на данном этапе необходимо определить требования, условия и ограничения на исследуемую операцию. На этом же этапе должны быть решены проблемы информационного обеспечения будущей модели ИО.

3. Построение модели. На этом этапе необходимо выбрать  модель, наиболее подходящую для  адекватного описания ИО. При  построении модели должны быть  установлены количественные соотношения  для выражения целевой функции  (ЦФ) и ограничений в виде функций  от управляемых переменных. Наиболее  важным типом моделей ИО являются  математические модели (ММ). В основе их построения лежит допущение о том, что все переменные, ограничения, их связывающие, а также целевая функция количественно измеримы. Поэтому если Xj, j = 1, n представляют собой n управляемых переменных, а условия функционирования исследуемой системы (ИС) характеризуются m ограничениями, то ММ может быть записана в следующем виде:

(x1, x2 … xn)  max, min – целевая функция

gi(x1, x2 … xn) ≤ bi, i = 1, m – ограничения.

4. Анализ  модели обычно производится с  помощью методов математического  программирования.

5. Анализ  решения, или анализ на чувствительность, – это процесс, реализуемый  после того, как оптимальное решение  задачи получено. В рамках такого  анализа выявляется чувствительность  оптимального решения к определенным  изменениям исходной модели, т.е.  фактически рассматривается совокупность  моделей, что придает исследуемой  операции определенную динамичность.

6. Решение,  полученное при помощи анализа  модели, не может, однако, непосредственно  быть рекомендовано для практической  реализации. Математическая модель, как и любая другая модель, лишь частично отображает действительность, акцентирует отдельные ее аспекты.  Адекватность модели исследуемой  операции и, следовательно, качество  полученного результата можно  проверить, сопоставляя результаты, установленные без использования  модели, с результатами, вытекающими  из анализа модели.

7. Работы  по исследованию операций имеют  смысл, если они завершаются  внедрением результатов исследования  в практику. Важность задач координации  научной и производственной деятельности  и трудности, связанные с внедрением  научных рекомендаций в производство, заставляют рассматривать эти  вопросы как отдельный этап  в исследовании операций. При  этом следует помнить, что задача  исследователя операции – подготовить  решение, а не принять его.  Руководитель, ответственный за  решение, должен учитывать помимо  рекомендаций исследователя операций, основанных на количественных  оценках, и другие факторы,  не поддающиеся формализации.

Задача математического  программирования (ЗМП) имеет вид: 

• (x1, x2 … xn)  max, min – целевая функция
• gi(x1, x2 … xn) ≤ bi, i = 1, m –  ограничения

Элементы линейной алгебры 

Алгебра матриц

Виды матриц 

   Матрица,  состоящая из одной строки, называется  вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – вектором-столбцом. A = (a11 a12,…, a1n) – вектор-строка

    Элементы квадратной матрицы  aij, у которых номер столбца равен номеру строки (I = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

    Если все внедиагональные элементы  квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

    Матрица любого размера называется  нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю

Действия  над матрицами 

 Суммой двух матриц А = (аij)m,n и В = (bij)m,n называется матрица С = А + В, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов аij и bij матриц А и В.

Для суммы  матриц справедливы следующие свойства: 

1. А + В = В + А – коммутативность;
2. А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность;
3. А + 0 = А, 0 – нулевая матрица.

 Произведением матрицы А = (аij)m,n на число называется матрица В = А, элементы которой bij вычисляются следующим образом: bij = aij, i = 1...m; j = 1...n.

   Из  данного выражения следует правило  умножения матриц: чтобы получить  элемент, стоящий на пересечении  i-й строки и j-го столбца матрицы С, необходимо все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства: 

1. А(ВС) = (АВ)С  
2. (АВ) = (А)В
3. (А+В)С = АС+ВС
4. С (А+В) =СА+СВ

Транспонирование  матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами.  

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами: 

1. (А`)` = A,
2. (A + B)` = A` + B`,
3. (AB)` = B`A`.

      Матрица А = (аij)m,n называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной.

        Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению    А-1А = АА-1 = Е.

Обратную  матрицу можно вычислить на основании  следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана–Гаусса) над  строками матрицы: 

1. Умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля.
2. Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.

Вычисление  определителей 
 

     Определителем n-го порядка,    соответствующим квадратной матрице называется алгебраическая сумма n!1 членов, каждый из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус — в противном случае где суммирование распространяется на всевозможные перестановки  из n чисел 1, 2,...., n.

Вычисление  определителей n-го порядка производится на основании свойств определителей и теоремы Лапласа.

Перечислим  основные свойства определителей, опуская  доказательства: 

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит  из одних нулей, то её определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число.
3. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Решение систем алгебраических уравнений 

Формула Крамера и  метод обратной матрицы 

  Формулы Крамера применяются при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля.

  Решение  системы линейных уравнений находится  по формулам Крамера: