Логарифм

Логарифм:Свойства ,Уравнение ,Неравенство

Логарифм  впервые опубликовал  в 1614 году шотландский математик Джон Непер.

Потребность в действиях  с многозначными числами впервые  возникла в 16 веке в связи с развитием  дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислений. Благодаря астрономическим расчетам на рубеже 16 и 17 веков возникли логарифмические  вычисления.

Первые таблицы  логарифмов были составлены швейцарским  математиком Бюрги в 1590 году. Немного позднее, независимо от Бюрги, таблицы логарифмов также составил шотландский ученый Непер. Непер брал за основание логарифма число, очень близкое к единице но меньшее, чем единица. Непер опубликовал свои таблицы в 1614, а Бюрги в 1620 году.

Позднее Непер и  его сотрудник Бригг совместными усилиями перевели первые таблицы Непера на новое основание — 10. После смерти Непера Бриг продолжил и закончил эту работу. Таблицы десятичных логарифмов были впервые опубликованы в 1624 году. Именно поэтому они также носят название Бригговы.

1)Логарифм единицы равен  нулю. 
2)Логарифм от числа больше единицы имеет положительное значение. 
3)Логарифм от числа меньше единицы имеет отрицательное значение. 
4)Логарифм от числа меньше нуля является комплексным числом.

• Дробная часть логарифма носит название мантисса.
• Целая часть логарифма носит название характеристика.
• Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].
• Oснoвные свoйства логaрифмов:
• 1)
• 2)
• Лoгарифм прoизведения и чaстного: 
  4)
• 6)
• 7) Основнoе логaрифмическое тождество: 
  
• Лoгарифм от степеней: 
  8)
• Фoрмула переходa к нoвому оснoванию: 
  9)
• Cледствие из фoрмулы переходa к новoму основaнию: 
  10)
• Дoполнительные фoрмулы: 
  11)
• 12)
• Логaрифмические урaвнения:
• Логарифмические неравенства:
• Если в простейших логарифмическом неравнстве основание больше 1 (а>1), то  
  
• Если в простейших логарифмическом неравнстве основание лежит в промежутке (0:1), то  
  
• Для логарифмических неравенств, решаемых методом интервалов:
• Знак разности логарифмов совпадает со знаком произведения на ОДЗ: 
  
• Для простейшего логарифмического неравенства переменной в основании: 
  

Свойства отрицательных логарифмов

Отрицательные логарифмы  представляются в так называемой искусственной форме. Отрицательный логарифм в искуственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику.

Например: lg(0.005) = 3.69897. Эта запись означает

Чтобы перевести отрицательный  логарифм из естественной формы в  искуственную, нужно:

1. На единицу увеличить абсолютную величину его характаеристики
2. Полученное число снабдить знаком минус сверху
3. Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр не равных нулю, вычитать из девяти. последнюю не равную нулю цифру вычесть из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

Общее описание.

Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (10² = 100). Если n – заданное число, b – основание и l – логарифм, то b^l = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа l. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений log_b n = l и antilog_b l = n.

Основные свойства логарифмов:

Любое положительное число, кроме единицы, может служить  основанием логарифмов, но, к сожалению, оказывается, что если b и n – рациональные числа, то в редких случаях найдется такое рациональное число l, что b^l = n. Однако можно определить иррациональное число l, например, такое, что 10^l = 2; это иррациональное число l можно с любой требуемой точностью приблизить рациональными числами. Оказывается, что в приведенном примере l примерно равно 0,3010, и это приближенное значение логарифма по основанию 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах десятичных логарифмов. Логарифмы по основанию 10 (или десятичные логарифмы) столь часто используются при вычислениях, что их называют обычными логарифмами и записывают в виде log2 = 0,3010 или lg2 = 0,3010, опуская явное указание основания логарифма. Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу, приближенно равному 2,71828, называются натуральными логарифмами. Они встречаются преимущественно в работах по математическому анализу и его приложениям к различным наукам. Натуральные логарифмы также записывают, не указывая явно основание, но используя специальное обозначение ln: например, ln2 = 0,6931, т.к. e^0,6931 = 2