Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Задачи

    

    Решение:

    Преобразуем уравнение:

    y – β = -2(x – α)², где ,

    Таким образом, данное уравнение определяет параболу с вершиной в точке (3, 9) и осью симметрии х = 3. Так как  а = -2, то ветви параболы направлены вниз.

      
 

 

     Ответы на экзаменационные билеты

    Билет 8

1. Является  ли система векторов    на плоскости (в пространстве R²) линейно независимой?

    Решение:

    Система векторов

    а₁ = (а₁₁, …, а_1n),

    a₂ = (a₂₁, …, a_2n),

    ………………..

    a_s = (a_s1, …, a_sn)

    называется линейно зависимой, если справедливо равенство

    α₁а₁ + … + α_sa_s = 0,

    Получаем:

      Þ Þ

    Данная  система векторов является линейно  независимой. 

    

2. Какую кривую на плоскости при определяет уравнение

    Решение:

    Преобразуем данное уравнение к следующему виду: _. где

    Следовательно, заданное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (ось симметрии параллельна оси ординат). 
 

    

3. Вычислить определитель

    

    Решение:

      

    

4. Найти два опорных решения  канонической системы уравнений

    

    Решение:

   Данная  система является системой с базисом относительно переменных х₁ и х₃. Свободной неизвестной является х₂. Полагая в системе х₂ = 0, получим первое опорное решение = (2, 0, 6).

    Так как при свободной неизвестной х₂ имеются положительные коэффициенты, то возможен переход к эквивалентной канонической системе. Переход осуществим согласно алгоритму преобразования однократного замещения.

    В качестве разрешающего столбца возьмем столбец свободной неизвестной х₂. Разрешающей строкой будет первая строка. Тогда разрешающим элементом будет элемент а₁₂ = 2.

    

    Приведем  полученную систему к системе  с базисом:

    

    Получим систему:

    

    Тогда второе опорное решение: = (0, 2, 0). 

    

5. Найти уравнение перпендикуляра, восстановленного в  точке пересечения  прямой с осью абсцисс.

    Решение:

    Общее уравнение прямой: y = kx + b

    Пусть заданная прямая имеет вид: с.

    Уравнение искомого перпендикуляра имеет вид: y = k₂x + b₂

    По  условию перпендикулярности прямых угловой коэффициент искомой  прямой .

    Тогда уравнение перпендикуляра примет вид:

    Так как перпендикуляр восстановлен в точке пересечения прямой с осью абсцисс, то есть в точке М(х₀, 0), получаем:

      Þ

    Уравнение перпендикуляра: