Лекция по мат. анализу

Теорема Если элементы сходящейся последовательности

_{Хп) начиная с некоторого номера, удовлетворяет неравенству х_п≥ b {х_п ≤b),то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ≥ b(а ≤b). Док-во.

 проведем  для случая х_п>b. Пусть все элементы

х_п, начиная  с  некоторого  номера удов неравенству

х_п ≥b. Требуется доказать, что а≥Ь.

Предполож противное,т.е.что  а<b.

Так как lim х_п=а, то для е=b-а> Осущ номер N та-

кой, что при  всех п>N вып нер-во |х_п — а <Ъ — а. Оно равносильно неравенству —b + a<x_n—a|<b — a. Из правого неравенства получаем : х_п < Ь при п > N, что противоречит условию теоремы. Следовательно а ≥Ъ. 

10 -\\- 

11 Монотонные посл-и

Посл-ь {Xn} назыв-я  возр-ей еслиXn<Xn+1 для всех n; невозрастающей еслиXn>=Xn+1для всех n, неубывающей  если Xn≤X(n+1)Монотонные посл-и огр-е хотябы с одной стороны:неубыв-е-снизу(Xn≥X1 для всех n) невозр-е-сверху(Xn≤X1 для всех n)

Теорема: Монотонная огр-я посл-ь сходится. Док-во: Рассмотрим случай неубывающей последовательности; т.е. х_п =<х_п+1 для всех n. Так как последовательность ограниченна, то существует число А такое , что выполняется неравенство x_n =< A для всех n. Рассмотрим числовое множество X состоящее из элементов данной посл{Xn}. По условию это множество ограниченно сверху и непусто. Следовательно, в силу теоремы о существовании точной верхней грани множество X имеет точную верхнюю грань. Обозначим её через а и докажем, что а = lim x_n.

Действительно, так как а - точная верхняя грань  множества X состоящего из элементов последовательности {х}, то по свойству точной верхней грани для любого e > 0 найдётся номер N такой, что Xn >а-e. В силу того, что последовательность {х_п} неубывающая, то при всех п > N имеем {Хn} > а-r. С другой стороны, по определению верхней грани х_п=<а<а + е для всех n. Таким образом, при всех n > N получаем неравенство а-e<Х_п < а+e, т.е. |х_п — а|<e при всех n > N. А это по определению означает,

что а - предел последовательности{Xn}. Случай невозрастающей последовательности рассматривается аналогично.

Ограниченность  монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости. 

12 Число e

Рассмотрим последовательность {х_п }, где Х_п = (1 +1 /п)^п

(l+l)¹,(l + l/2)²,(l + l/3)³,...,(l+l/_f>ⁿ,.._!

Докажем, что  она сходится.

Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и  ограничена

сверху.

1)     Покажем, что последовательность {х_п}возрастающая, т.е. для Vn х_п <х_п+1.

(1 +1 / л)в степени n,   разложим по формуле бинома Ньютона.

(1+x)в степени n=1+(n\1!)*x+(n*(n-1)\2!)*xв квадрате+...+x в степени n

_{x =(1+}l/n)ⁿ=l + (n/l!)-a/n) + (n(n-l)/2!)-(l/n²) + +(n(n-l)(n-2)/3!)-(l/n³)+... +(n(n-l)(n-2))... •

_(n_(n-l))/n!)*(1/nⁿ) = 2 + (l/2!)-(l-l/n) + (l/3!)-(l-l/n) .(₁_2/n)+..+(1/n!(1-1/п)(1-2/п)... *(l-(n-l)/n).

Аналогично,

Xn+1=(l+l/(n + l))ⁿ⁺¹=2+(l/2!)(l-l/(n₊l)) + (l/3!)-.₍l_(l/(n+l))Xl-2/(n+l))+... +(l/(n + l)!)(l-l/(n+l))-.(l_2/(n+l))-...-(l-n/(n+l)).

Для        любого        0 < к < П        выполняется        соотношение (1-1/к) <(1-1/(к + 1)). Следовательно, в выражении для х_п+1 каждое слагаемое больше чем соответствующее слагаемое в выражении для Х_п. Следовательно, Х_п < Х_п+1 для любого П. Следовательно, {х_п} - возрастающая последовательность. 2) Покажем, что последовательность {х_п} - ограниченная сверху.

Рассмотрим выражение  для х_п. Так как 1/к!< 1 / 2(в степени К-1)     при к > 2, то

x_n<2 + l/2!+l/3!+...+l/n!<l+l/2+l/4+l/8 + ...+

+ 1/2^п-1 =1 1\2 в n\1-1/2 = 1 + 2(1-1\2 в n) = 3-1/2^п-1 <3

               

Следовательно, для любого п  2 < х_п < 3 и последовательность {х_п} ограничена сверху.  она является сходящейся.

lim(1+1\n)в n Эйлер обозначил через е.

Этот предел принято обозначать буквой е.Число  е-иррациональное, оно не может быть корнем уравнения с целыми коэффиц.Такие иррац числа назыв-я трансцендентными. 

13 Теорема о влож-х  про-х.

Опр-е: Пусть  дана посл отр-в [A1,B1]..[An,Bn] таких что каждый след-й сод-ся в предидущ-м и lim(Bn-An)=0-такая наз-я вложенная посл-ь

Теорема:Для  любой посло-и влож-х отр-в сущ-т единствен-я точка принад-я всем эти отр-м.   

14 Понятие функции  и способы ее  задания. 

Определение. Пусть заданы два множествами X и Y. Если каждому элементу х € X поставлен в соответствие по вяолне определённому закону f единственный элемент у €Y, обозначаемый f(x) и если! каждый элемент у € Y при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу х € X, то говорят, что на множестве X задана однозначная функция у=f(х).                      .           !

Множество X называется её областью определения и обозначается D(f), а множество Y - множеством её значений. Элемент х €X называется аргументом или независимой переменной, а элемент у е Y значением функции.

Для того чтобы  задать функцию надо задать её область  определения X; её область значения У; закон соответствия f, по которому определяется элемент у е Y, соответствующий элементу х е Х т.е. элемент у = f(x). 

Определение. Фуyкция, область определения и множество значений, которой являются подмножествами вещественных чисел, называют вещественной функцией одного вещественного переменного.

Определение, Функция f{x) определённая на некотором промежутке X называется ограниченной на этом множестве сверху (снизу), если существует число М(т) такое, что для любого X е X выполняется неравенство f(x)=<M          (f(x)>=m), т.е. (3M(m)eR)(VxeX):f(x)<=M(f(x)>=m). Функция, ограниченная сверху и снизу на множестве X, называется ограниченной на этом множестве,      т.е.      (3m,MeR)(VxeX):m<f(x)<M 

     рассмотрим  способы задания функции.

Существуют три  способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Функция задана аналитически, если закон, устанавливающий  соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции задается посредством формул. Формула у-п! ставит в соответствие каждому натуральному числу п число у = 1 • 2 • 3 • 4 ■... • п.

у = п!. Область определения D(f)= {l,2,3,...,n,...},, а множест-_вОзйаяений-{1!2!,...n!,...}.

Аналитическое задание функции - основной способ задания в математическом анализе.

Преимущества  этого способа: сжатость, компактность задания, можно вычислить значение функции для любого значения аргумента  из области определения; имеется  возможность применить к данной функции аппарат математического  анализа.

Табличный способ заключается в задании таблицы  отдельных значений аргумента и  соответствующих им значений функции.

Определение. Графиком числовой функции f, заданной на числовом промежутке X, называют множество G всех точек координатной плоскости, имеющих вид М(хf(х)), где хеХ, т.е. {(х;y): У = f(х), хеХ). 

Супер позиция  функции-если на нек-м пром-е Хопр-на функция Z=q(x) с множ-м знач Z а на множ=вез  опр-на y=f(z)то y=f[q(x)] и есть

Определение. Постоянная функция f(x) = С, где С=const степенная функция х^а (а - любое число), показательная функция a в x^x (а>0, а=\1), логарифмическая функция log_a х (а>0 а=\1), тригономет. рические функции: sinx,  cosx, /gx,. ctgx, и обратные ригономет.

: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx -простейшими элементарными функциями.

Определение. Пусть функция у = f(x) задана на сегменте [а,b] и пусть сегмент [alfa, beta] является множеством значений этой функции Пусть, кроме того, каждому из сегмента [alfa, beta] соответствует толь-ко одно значение х из сегмента [a,b] для каждого y=f(x). Тогда на сегменте [alfa, beta] определена функция, которая каждому значению у e [alfa, beta]  ставит в соответствие то значение х е [a,b], для которого

И y=f(x) Эта функция обозначается x=f.в-1  (у) и называется обратной для функции у = f(х).

Замечание. Если функция x=f.в-1   (y) обратная для у= f(x) , то очевидо, функция y=f(x) является обратной для функцииx=f.в-1   (y), т.е. эти функции называются взаимообратными. 

15 Предел функции. 

По ГЕЙНЕ-число b наз-ва пределом  y=f(x) в точке  а если для любой посл-и знач-й арг-та сход-я к а и сост из чисел Хn,отл от а,соотв посл-ь знач функций сводится к b.

 

По КОШИ-b назыв  пределом если для любого полож числ Е найд-ся найдтся полож отвеч  ему число qт такое что для  всех знач-й Х удовл-го усл-ю 0<lx-al<q справ-о нер-во lf(x)<bl

 

Теорема : Функция f(x) имеет в точке а предел тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. 

  Док-во

.

Пусть lim f(x)= lim f(x)=b. Тогда, по определению правого и левого предела функции, для любого ε> 0 существуют числа δ₁> 0 и   δ₂ > 0   такие,   что для всех   х   удовлетворяющих  условиям a-δ₁ <х<а и a<х< a+δ₂ выполняется неравенство \f(x)-b\<ε. Возьмем δ = min {δ₁,δ₂ }. Тогда для всех х \ удовлетворяющих уcловию 0 < \х-а\ < δ, будет выполняться неравенство \f(x)-b\ < ε А это , означает, что lim f(x) =b. 

Правый(левый) предел функции : 

По ГЕЙНЕ -число b назыв-я правым(левым)пределом функции  в точке а если для любой посл-и знач-й арг-та {Xn}сход-я к а и сост из чисел больших(меньш) а соотв-я послд-ь знач функции {f(Xn)} сход-я к числу b 

По коши- число b назыв-я правым(левым)пределом функции  в точке а если для любого полож  числа Е найд-я отв-е ему  полож-е чмсло q такое что для всех знач-й арг-та Х удовл-го усл-ю а<x<a+q спав-во нер-во lf(x)-bl-E 

Предел при  х→_+∞(-∞) по ГЕЙНЕ- число b наз-я пределом если для любой беск-о больш-й посл-ти знач арг-тп {Xn} все Эл-ты к-й пол-ны(отр) соотв посл зн функ {f(xn)} сход-я к числу b

Предел при  х→+∞(-∞ ) по КОШИ- b наз-я пределом если для любого полож-го числа Е найд-я отв-е ему полож q такое что для всех зн арг х удовл-го усл x>q(x<q) спр-во lf(x)-bl<E 

16 Теоремы о пределах  функций 

Пусть 2 функции f(x) и g(x) заданы на одном множ-ве и имеют пределы в точке а, пределы =b  и c то функции f(x)+g(x),f(x)*g(x),f(x)/g(x)…им-т пределы b-c?bc?b/c (c не равно 0)

Док-во.

Пусть (х_n) произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу олределения предела функции по Гейне соответствующие последовательности значений функции {f(x_n )} и {g(x_n)} сходятся к пределам b и с соответственно. Но последовательности     {f(x_n) + g(x_n),    {f(x_n)-g(x_n)},    {f(x_n)-g(x_n)} {f(x_n)/g(x_n)} сходятся к пределам b + c, b-c, bc, b\с (с=\О) соответственно. А это в силу произвольности последовательности значений аргумента, сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне означает, что функции ffxj + gfxj, /f(x)-gfxj, f(x)*g(x) и f(x)/g(x) имеют в точке а пределы, соответственно равные b + c, b-c, bc, blс 

Пусть функция\ f(x), g(x) b h(x) опр-ы в точке а , limf(x)При x→a =limh(x)=b 

17 первый замечательный  предел

Теорема: предел функции g(x)=sinx\x в точке x=0 существует и равен 1, те lim sinx\x=1

Док-во: раасм  дугу окр-и радиуса R=1 с центр-м углом, радианная мера к-го равна x(0<x<П\2) тогда AO=1,sinx=MK,tgx=AT-(1).Очевидно что площадь треуг-ка OAM меньше площади сектора OAM к-я меньше площади треуг-а OAT или 1\2OA*MK<1\2OA*AM<1\2OA*AT(2) принимая во внимание рав-ва 1 последнее соотнош-е можно зап-ь в виде 1\2sinx<1\2x<1\2tgx