Лекции по "Высшей математике"

1Обыкновенным диф-м ур-ем 1-го порядка наз-ся ур-е связывающее независимую переменную Х, неизвестную ф-ю у(х) и произв у’(х)

Ф-я у(х) наз-ся решением диф ур-я, если подставив ф-ю и ее произв в диф-е ур-е получим равное равенство

Решение полученное в виде неявной ф-и ⱷ(х,у)=0 наз-ся интегралом диф-го ур-я ⱷ(х,у,с)=0 общее решение интеграла.

у= ⱷ(х,с) наз-ся общим решением, если она яв-ся решением ур-я.

У=у(х)-решение, ⱷ(х,у)=0 Задавая разное значение С мы будем получать разное решение. Геометрически решить задачу Коши это выбрать интегр кривую проход через заданную точку. 

2 Обыкновенным диф-м ур-ем 1-го порядка наз-ся ур-е связывающее независимую переменную Х, неизвестную ф-ю у(х) и произв у’(х)

Ф-я у(х) наз-ся решением диф ур-я, если подставив ф-ю и ее произв в диф-е ур-е получим равное равенство

У’=f(x,y) у(х₀)=у₀ если в диф-м ур-и У’=f(x,y) ф-я f(x,y) непрерывна и ограничена в нек-й обл. Д в плоскости. Имеет в обл.Д ограниченную частную производ df/dy или удовлетворяет условию |f(x,y₁)-f(x,y₂)|≤N(y₁-y₂) (x,y₁), (x,y₂)€Д, то (х₀,у₀)€Д (х₀-б, х₀+б) сущ-т решение задачи Коши у(х₀)=у₀  

5 Пуст ур-е 1-го порядка записано в виде М(х,у)dx+N(x,y)dy=0 du=M(x,y)dx+N(x,y)dy du=0»u(x,y)=C du= du=u_x’dx+u_y’dy ∂u/∂x=M(x,y)

∂u/∂y=N(x,y) ∂²u/∂x∂y=∂²u/∂y∂x ∂M/∂y=∂N/∂x 

6 Обыкновенным диф-м ур-м порядка n наз-ся ур-е связывающ независимую переменную, искомую ф-ю и ее производ. У⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1))

Y(x)-решение диф-го ур-я, если при подстановке ф-ии и ее произв. Ур-е получит равное равенство. ⱷ(х,у)=0 у=ⱷ(х,С₁,С₂,…С_n)- общее решение ⱷ(х,С₁,С₂,…С_n)=0 общий интеграл 

7 Обыкновенным диф-м ур-м порядка n наз-ся ур-е связывающ независимую переменную, искомую ф-ю и ее производ. У⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1))

У’=f(x,y) у(х₀)=у₀ если в диф-м ур-и У’=f(x,y) ф-я f(x,y) непрерывна и ограничена в нек-й обл. Д в плоскости. Имеет в обл.Д ограниченную частную производ df/dy или удовлетворяет условию |f(x,y₁)-f(x,y₂)|≤N(y₁-y₂) (x,y₁), (x,y₂)€Д, то (х₀,у₀)€Д (х₀-б, х₀+б) сущ-т решение задачи Коши у(х₀)=у₀  

8 Самым простым ур-м яв-ся у⁽ⁿ⁾=f(x)

y^(n-1)=∫f(x)dx+(n-1)!C₁  

y^(n-2)=∫(f(x)dx)dx+(n-1)!C₁x+C₂(n-2)!

……………………………………………………

Y=∫…∫f(x)dx…dx+C₁x^n-1+C₂x^n-2+…+C_n 

9 a_n(x)y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1(x)y^(n-1)(x)+…

+a₁(x)y’(x)+a₀(x)y(x)=f(x) неоднородное ур-е

Если  ф-я у₁(х)решение ур-я L[y]=f₁(x); ф-я у₂(х) решение ур-я L[y]=f₂(x), то ф-я у₁(х)+у₂(х) решение ур-я L[y]=f₁(x)+f₂(x)

Док-во:

L[y₁]=f₁(x), L[y₂]=f₂(x), L[y₁+y₂]=L[y₁]+ L[y₂]=f₁(x)+f₂(x) 

10 a_n(x)y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1(x)y^(n-1)(x)+…

+a₁(x)y’(x)+a₀(x)y(x)=0 однородное ур.

Если  ф-ии у₁(х)…у_к(х) яв-ся решением ур-я L[y]=0, то  у(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+… +С_ку_к(х) будет решением L[y]=0, ¥C₁,C₂…C_k 

11 Система ф-ий у₁(х),у₂(х)…у_n(х) наз-ся линейно-зависимой на [а,в], если сущ-т такие числа λ_1,λ₂…λ_к ≠0 одновременно, что выполняется равенство

λ₁у₁(х)+λ₂у₂(х)+…+λ_ку_к(х)=0

Если  определитель Вронского ≠0 на [а,в], то система ф-ий линейно-независима 1,х,х²,х³,х⁴ 

12 Система ф-ий у₁(х),у₂(х)…у_n(х) наз-ся линейно-зависимой на [а,в], если сущ-т такие числа λ_1,λ₂…λ_к ≠0 одновременно, что выполняется равенство λ₁у₁(х)+λ₂у₂(х)+…+λ_ку_к(х)=0

Если  определитель Вронского ≠0 на [а,в], то система ф-ий линейно-независима е^-х,е^2х,е^4х 

13 Если ф-ии у₁(х)…у_n(х) линейно-зависимы, то определиетль Вронского W[y₁…y_n]=0

Док-во:

W[y₁…y_n]=0, n=3

λ₁у₁(х)+λ₂у₂(х)+λ₃у₃(х)=0 сущ-т числа λ_1,λ₂,λ₃ ≠0 одновременно   λ₃ ≠0  у₃(х)=-λ₁/λ₃*у₁(х)- λ₂/λ₃*у₂(х)

у₃(х)=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)

Если  определитель Вронского ≠0 на [а,в], то система ф-ий линейно-независима 

14 a_n(x)y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1(x)y^(n-1)(x)+…

+a₁(x)y’(x)+a₀(x)y(x)=0 однородное ур.

Для того что бы системы частных решений  у₁(х)…у_n(х) ЛОДУ порядка n была линейно-независимой необходимо и достаточно чтобы определитель Вронского не обращался в 0 ни в одной точке 

15 Каждая ЛОДУ порядка n имеет ровно n-линейно-независимых решений Совокупность линейно-независимых решений ЛОДУ наз-ся ФСР

Общее решение ЛОДУ порядка n L[y]=0 яв-ся линейной комбинацией его n-линейно-независимых решений ФСР х²у”+xy’-y=0 y₁’(x)=x² y₁’=1 y₁”=0→ х²0+x1-x=0 y₂(x)=1/x y₂’=-1/x² y₂”=2/x³→ х²*2/x³+x(-1/x²)-1/x=0

Y₀=C₁x+C₂1/x

16 Ф-я у=е^кх яв-ся решением ур-я

y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^n-1+…+a₁y’+a₀y=0 тогда и только тогда, когда число к яв-ся корнем хар-го ур-я

к⁽ⁿ⁾+a_n-1к^n-1+…+a₁к+a₀=0 если хар-е ур-е имеет к различных действит корней тогда можно построить у₁=е^кх,у₂=е^к₂^х…у_n=е^кnх у₀₀=С₁е^кх+С₂е^к2х 

18 Ф-я у=е^кх яв-ся решением ур-я

 y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^n-1+…+a₁y’+a₀y=0 тогда и только тогда, когда число к яв-ся корнем хар-го ур-я

к⁽ⁿ⁾+a_n-1к^n-1+…+a₁к+a₀=0 Если ур-е имеет кратные формы к₁=… к_r=0, … kⁿ+a_n-1k^n-1+…+a_rk^r=0

yⁿ+a_n-1y^n-1+…+a_ry^r=0 y₁=1 y₂=x…y_r=x^r-1 Кратный корень к≠0 к₁=к₂…=к_r 

19 Ф-я у=е^кх яв-ся решением ур-я

y⁽ⁿ⁾+a_n-1y^n-1+…+a₁y’+a₀y=0 тогда и только тогда, когда число к яв-ся корнем хар-го ур-я

к⁽ⁿ⁾+a_n-1к^n-1+…+a₁к+a₀=0

у₀=…+ 

20  Общее решение ЛНДУ порядка n L[y]=f(x)= сумме общего решения соответств ЛОДУ и частного решения неоднородного ур-я у_он=у_о+у_ч х²y”+xy’-y=3x² Y₁(x)=x  y₂(x)=1/x  y_ч=х², у_ч’=2x, y_ч”=2→ х²2+x2х-х²=3x² у_он=С₁х+С₂1/х+х²