Лабораторная работа. Метода уточнения корней

 
 
 
 
 

Выполнила: Зайнапова В.Р.

ПМИ-9,10

2 курс 

     Отделение корней

     Дано уравнение вида . Всякое значение x, обращающее в нуль  функцию f(x), называется корнем функции. Из-за сложного вида функции часто возникают трудности с аналитическим решением, и в этом случае  пользуются вычислительными методами для приближенного нахождения корней. Корни требуется получить с заданной наперед точностью ε.

     Приближенное нахождение действительных изолированных корней проходит в два этапа: 1) отделение корней, т.е. установление как можно более тесных промежутков, на которых содержится только один корень уравнения; 2) уточнение приближенных корней с точностью ε.

     Существует  два способа для отделения  корней: графический и аналитический. В первом случае строится график функции и находятся точки пересечения с осью абсцисс. Часто сложную функцию f(x) разбивают на две h(x), g(x) таким образом, чтобы уравнение можно было заменить на  . В этом случае корень функции f(x) определяется из пересечения графиков двух вспомогательных функций.

      Для второго способа отделения корней используется следующая теорема (Больцано-Коши):

     Если  непрерывная функция  f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения. Корень будет заведомо единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а,b). 
 

Методы  уточнения корней

     Метод половинного деления (метод  дихотомии) предназначен для уточнения значения корня на отрезке [a,b] с заданной точностью ε. Суть этого метода заключается в том, что сначала находится середина отрезка ,  затем определяется часть отрезка, [a,с] или [с,b], внутри которого располагается корень.  Если f(a)×f(с)<0 , то корень содержится внутри отрезка [a,с] и деление можно продолжить, приняв за правый конец точку с, выполнив присваивание b=c. В противном случае, когда  f(с)×f(b)<0, в точку с  смещается левый конец отрезка: а=с. и т.д. Процесс половинного деления следует остановить, когда длина отрезка окажется меньше заданной точности: .  Любая точка внутри такого отрезка – искомое решение.

     Методы  Ньютона (касательных) и хорд

     Для численного решения уравнения  методами Ньютона и хорд необходимо, чтобы первая и вторая производные функции f(x) были непрерывны и сохраняли знак на отрезке [a,b], в котором заключен единственный корень x. Из условия постоянства знака первой производной следует единственность корня при на заданном отрезке, а из условия постоянства знака второй производной следует, что выпуклость функции не меняется на вогнутость и наоборот.

     Метод Ньютона (метод касательных). Имеется некоторое приближение x_n точного значения корня x. Тогда можно записать , где добавку h_n считаем малой величиной. Используя разложение функции f(x) в ряд Тейлора около x_n до слагаемых первого порядка и приравнивая его к нулю, имеем: .  Откуда .

     Так как добавка  найдена приближенно, то можно сказать, что вычислено новое приближение x_n+1 . Таким образом, получена итерационная формула          для   

     В качестве нулевого приближения x₀ выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению   .

     В общем случае, для оценки точности e методом Ньютона недостаточно выполнения условия , однако оно становится применимым с ростом n (при ). Оценить точность можно, пользуясь общей формулой , где – наименьшее значение на отрезке [a,b].

     Метод хорд. В методе хорд, в отличие от метода половинного деления, отрезок делится не пополам, а, что более естественно, пропорционально отношению . Если для определенности принять , , а за х точку, в которой производится деление отрезка, то   . После преобразований получается:  . После деления необходимо сдвинуть один из концов отрезка, так, чтобы корень оказался внутри нового отрезка. Неподвижным выбирается тот конец отрезка [a,b], который удовлетворяет соотношению   , где или . В итоге итерационная формула для метода хорд принимает вид:

          при  ,

         при  .

     Итерации  можно продолжать до тех пока , это автоматически означает, что .

     Метод итерации. Суть этого метода заключается в том, что уравнение  приводится путем тождественных преобразований к виду . Выбирая в области отделения корня начальное приближение x₀, получают следующее приближение , затем вычисляют и т.д.. Таким образом, итерационная последовательность вычисляется по рекуррентной формуле: . Если процесс сходится, т.е. существует предел , то , откуда . Следовательно предельное значение итерационной последовательности является корнем исходного уравнения.

     Теорема о сходимости метода итерации.

     Пусть определена и дифференцируема на отрезке [a,b], тогда, если существует число q такое, что при то:

     1) Процесс итерации  сходится независимо от начального значения .

     2) Предельное значение  является единственным корнем уравнения   на отрезке [a,b].

     При оценке достижения точности ε используется условие: , где на отрезке [a,b].  В частности, при это условие можно заменить на более сильное неравенство .

     Для того, чтобы процесс сходился, можно искать из соотношения , где .   k имеет тот же знак, что и .

     Производная . Очевидно, что , так как отношение может принимать значения в диапазоне от нуля до двух. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Постановка  задачи. 

1. Отделить корни  аналитически, уточнить один из них  методом Ньютона и хорд с точностью до 10^-6.. Сравнить число итераций.
2. Отделить корни графически, уточнить один из них методом Ньютона и хорд с точностью до 10^-6.. Сравнить число итераций.

     . 
 

Решение. 

а)

 

Требуется найти участки, на которых производная сохраняет знак. Для этого необходимо вычислить корни уравнения . В промежутках между корнями знак производной сохраняется. Решая уравнение: ,  находим три корня: , _, Следовательно, имеются четыре интервала: , , , , на которых знак производной не меняется. Для определения промежутков, в которых содержаться корни функции f(x) , необходимо исследовать знак функции на концах интервалов. Результат такого исследования удобно представить в таблице:

     Из  таблицы видно, что есть четыре корня на (–¥;–2), (-2;0), (0;1), (1;+¥). Промежутки отделения корней можно сузить  путем подбора. При этом необходимо следить, чтобы на концах отрезка [a,b], внутри которого ищется корень, выполнялось бы неравенство f(a)×f(b)<0. Так интервал , можно заменить на интервал . Интервал (1;+¥) на (1;2). Интервал (-2;0) и (0;1) можно оставить без изменения.

     Методом Ньютона.

      , определенного  при , .

     Так как  , , а на [a;b]. В качестве начальной точки выберем x₀=0,3 и задав точность ε=0,000001

 
 

     Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено на 18 шаге. (Девятнадцатый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.) 

     Погрешность можно оценить из соотношения  . Так как и на отрезке она монотонна, то .

     В итоге погрешность уточненного  корня не превышает величины .

     Метода  хорда:

     Для того, чтобы уточнить корень данного примера с помощью метода хорд, необходимо  зафиксировать конец отрезка . Таблица вычислений этим методом: