Курс лекций по "Математикадаға экономика"

Мысал:  ;    

 және  көбейтінділерді табуға бола ма?  . Бұл жағдайда А матрицаны В матрицаға көбейтуге болады, себебі А матрицаның тік жолының саны В матрицаның жатық жолдар санына тең: 

A B=   = 

= 

=  

Ал В  матрицаны А матрицаға көбейтуге  болмайды, себебі В матрицаның тік  жолының саны А матрицасының жатық  жолының санына тең емес.

      Енді  екінші ретті А мен В квадрат  матрицаларының көбейтінділерін қарастырайық, мысалы: 

A= ; B=

A B=   = =

 

B A=    = =  

Сонымен, A B= ал B A=  

Демек, егер А*В мен В*А көбейтінділері бар болғанымен де олар өзара тең  емес, яғни . Жалпы жағдайда матрицалар көбейтінділеріне ауыстырымдылық қасиет орындалмайды. Сонымен (4) формуладан матрицалардың көбейтінділеріне мына  қасиеттер орындалады (егер көбейтінділер бар болса):

1) терімділік қасиет:

2) үлестірімділік қасиет:

Тікелей көбейту арқылы  А*Е=Е*А=А теңдігі  орындалатындығына оңай көз жеткіземіз. 

4. Кері матрица.  Матрица рангісі.

Бізге n-ретті ерекше емес А матрица  берілсін.

Анықтама.

матрица А матрицасының кері матрицасы деп аталады, егер    (5)

теңдігі орындалса, мұндағы Е- n ретті бірлік матрица.

Теорема. (кері матрицаның бар болуы). Кез келген квадратты А матрицаның кері матрицасы бар болуы үшін, ол матрица ерекше емес матрица болуы қажетті әрі жеткілікті және ол мына төмендегі: 

=  (6) 

формуламен  анықталады.

Мұндағы        берілген А матрицаның     элементтерінің  алгебралық  толықтауыштары. 

Мысал.  Берілген  матрицаның  кері  матрицасын  анықтаңдар 

A=

Шешуі. 1 Алдымен берілген матрицаның кері матрицасының бар болуын зерттейік. Ол үшін матрицаның анықтауышын есептейміз

=0+4-1-0-2+6=7 0

     Демек, берілген матрицаның кері матрицасы  бар және оны  (6)  формуладан анықтаймыз.

2) Енді  матрица элементтерінің алгебралық  толықтауыштарын есептейік 

A₁₁=(-1)¹⁺¹ =0+2=2  A₂₁=(-1)²⁺¹ =-(2+1)=-3

A₁₂=(-1)¹⁺² =-(1-2)=1 A₂₂=(-1)²⁺² =3-1=2

A₁₃=(-1)¹⁺³ =-1-0=-1 A₂₃=(-1)²⁺³ =-(-3-2)=5

A₃₁=(-1)³⁺¹ =4-0=4

A₃₂=(-1)³⁺² =-(6-1)=-5

A₃₃=(-1)³⁺³ =0-2=-2

  3) Енді  кері матрицаны табайық: 

A^-1= =

Тексеру A A^-1=Е

Сонда, A

A^-1= = = 

= = =E Жауабы: A^-1=  
 

Матрицаның  рангісі.

Анықтама. А матрицаның нөлге тең емес минорының ең жоғарғы реті оның рангісі деп аталады және ол rang  А деп белгіленеді.

     Элементтер  түрлендірулер матрицаның рангісін өзгертпейді. Элементар түрлендірулер деп мына түрлендірулерді айтамыз:

1) Транспонирлеу  – матрицаның барлық тік жолдарын  сәйкес жатық жолдарымен орын  ауыстыру;

2) Екі  тік (жатық) жолдын орын ауыстыру;

3) Кез  келген тік (жатық) элементтерін  санына көбейту;

4) Кез  келген тік (жатық) жолының  элементтерін  санына көбейтіп келесі кез келген тік (жатық) жолының сәйкес элементтеріне қосу.

m*n-ретті А матрицасын қарастырайық: 

 

Берілген m*n-ретті матрицадан k-ретті   С C минор құруға болады, мұндағы   k n, k m (C = )           

Мысалы, 3*4 ретті 

A=

 

матрицадан  бірінші ретті (k=1)  C C =12  минор құруға болады. Ол минорлар берілген матрицаның элементтері. Ал екінші ретті (k=2) минор құруға болады. Берілген матрицаның нөльден өзгеше екінші дәрежелі миноры бар болады.

 

Үшінші  ретті минорлар   (k=3)    минор құруға болады. Үшінші ретті минорлардың барлығы да нөльге тең: 

 

 

 

 

Алынған матрицаның реттілігі бұдан жоғары минорлары болмайды. Олай болса, бұл  матрицаның рангісі rang A=2. Енді осы есепті екінші тәсілмен табайық, элементар түрлендіру әдіспен:

     

Сонымен, r=rang A=2. 

    Өздік жұмысына арналған есептер.

    Берілген  анықтауыштарды есептеңіз:

    1)      2)      3)      4)      5)  

    Жауаптар: 1)-3  2)25  3)160  4)-252  5)100 

    Өз  білімін тексеруге  арналған тестілер:

    1.Анықтауыш  дегеніміз не?

    а) әріп

    b) функция

    c) сан 

    d) аргумент

    2. Берілген  анықтауыштың элементінің алгебралық толықтауышын табыңыз.

    а) 1

    b) 4

    c) -3

    d) 3

    3. элементінің алгебралық толықтауыш формуласын көрсетіңіз.

    а)

    b)

    c)

    d)

    4. Берілген              анықтауышының бірінші және екінші жатық жолдарының орнын ауыстырғанда, онда

    а) анықтауыштың таңбасы кері таңбаға ауысады;

    b) анықтауыштың мәні үш есе өседі;

    c) анықтауыштың мәні нөльге тең;

    d) анықтауыштың мәні өзгермейді

    5. Берілген

    

    Есептемей, осы анықтауыштың мәнін анықтаңдар

    а) -12  в) 0   с) 8  d) 12

    6. Берілген 

      анықтауыштың

    а₃₂ элементінің минорын есептеңіз 

    а)0  в)2  с)-2  d)4

    7. Анықтауышты есептеңіз 

    

    а)140  в)-120  с)120  d)-140 
 

Өздік жұмысына арналған есептер.

1-2. Берілген  матрицаларының көбейтіндісін табыңыздар.

1)                 2)

3. Матрицаның  квадратын табыңыз.

4-5. Берілген  матрицаларға  кері матрицаны табыңыз.

4)                                    5)

6. Берілген матрицаларның рангісін анықтаңыздар.

 

Жауаптар:

1)      2)      3)      4)     

5)      6)  

Өз  білімін тексеруге  арналған сұрақтар.

1) Матрица  дегеніміз не?

a) сан

b) сандар кестесі

c) әріп

d) элементтері

2) Қандай  матрицаларды қосуға болады?

a) бір  ретті матрицаларды

b) бір  ретті емес матрицаларды

c) егер  бір матрицаның жатық жол саны  екіншінің тік жол санына тең  болса

d) егер  бір матрицаның тік жол саны екіншінің жатық жол санына тең болса

3) Қандай  матрицаларды бір біріне көбейтуге  болады?

a) егер  бірінші матрицаның жатық жол  саны екінші матрицаның тік  жол санына тең болса

b) егер  бірінші матрицаның тік жол  саны екінші матрицаның жатық  жол санына тең болса

c) егер  бірінші матрицаның тік жол  саны екінші матрицаның тік  жол санына тең болса

d) егер  бірінші матрицаның жатық жол  саны екінші матрицаның жатық  жол санына тең болса