Контрольная работа по "ТВиМС и линейное программирование"

Задача 1

 

Из перетасованной колоды (36 карт) последовательно извлекаются 3 карты. Какова вероятность события, что эти 3 карты:

1. 6 бубей, 7 червей, дама пик в заданном порядке?

 

Решение:

Используем  классическое определение вероятности  .

где m - число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию;

n - общее число исходов.

 

Число способов извлечь 3 карты из колоды в 36 карт: .

Число способов извлечь 3 карты в заданном порядке: сначала извлекаем 6 бубей – это можно сделать единственным способом (так как такая карта в колоде одна), затем извлекаем 7 червей, также единственным способом и, наконец, извлекаем даму пик единственным способом .

Искомая вероятность:

Ответ: 0,00014.

 

 

 

                                                                    Задача2

Из изучаемой налоговыми органами обширной группы населения  было случайным образом отобрано 10 человек и собраны сведения об их доходах за истекший год в тыс. рублей: х₁, х₂,..., х₁₀. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и используя в качестве его параметров выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию, определить, какой процент группы имеет годовой доход, превышающий а тыс. рублей.

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

х10

а

             

100

90

110

130

90

100

110

140

120

110

120

                      

Решение:

Так как в выборке  есть повторяющиеся значения, то её удобно задать таблицей частот значений :

Доход за истекший год, , тыс.руб.	Частота,
90	2	-20	400
100	2	-10	100
110	3	0	0
120	1	10	100
130	1	20	400
140	1	30	900
Итого:	10

 

Выборочное среднее:

.

Выборочная дисперсия:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение: .

Так как считаем распределение  доходов в группе нормальным то процент  группы, которая имеет годовой  доход, превышающий 120 тыс. рублей, вычисляется последующей формуле:

Значение функции Лапласа находим по таблице.

Таким образом, 27% группы имеет годовой доход, превышающий 120 тыс. рублей.

 

 

                                                      Задача3

 

Во второй тур президентских  выборов вышли два кандидата: А и В. Накануне второго в результате проведённого опроса лиц, желающих проголосовать за одного из двух кандидатов, было получено, что 51 процент опрошенных проголосует за кандидата А и 49- за кандидата В. Какова вероятность для каждого из кандидатов быть избранным, если для опроса использовалась репрезентативная выборка объёмом 2000 человек?

 

Решение:

Репрезентативная выборка - выборка, имеющая такое же распределение  относительных характеристик, что  и генеральная совокупность.

Найдем вероятность  победы кандидата А, то есть вероятность того, что за него проголосуют Х человек и это составит более 50% (то есть более 1000 человек):

Здесь Ф – функция  Лапласа; n=2000;  p=0,51;  q=1- p = 0,49.

Значение функции Лапласа нашли по таблице.

Вероятность победы кандидата  В можно найти аналогично:

n=2000;  p=0,49;  q=1- p = 0,51.

Ответ: вероятность победы кандидата А составляет 81,33%; вероятность победы кандидата В 18,67%.

 

 

                                      Задача4

Желая установить цену на товар, обеспечивающую максимальную прибыль, магазин в течение 5 рабочих дней недели продавал получаемые от поставщика изделия с наценкой соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 у.е. Количество единиц проданного товара в каждый из 5 дней приведено в таблице по вариантам. Методом наименьших квадратов получить уравнение квадратичной регрессии прибыли на наценку У= , где Х- наценка, а У- прибыль, определяемая как произведение наценки на количество единиц проданного товара. С помощью уравнения определить наценку, дающую максимальную прибыль.

 

На-           ценка  № варианта	1	2	3	4	5
11	95	75	55	25	5

                                                    

Решение:

Для нахождения коэффициентов уравнения квадратичной регрессии У= методом наименьших квадратов используем формулы:

Для составления этой системы уравнений  заполняем расчетную таблицу:

i
1	1	95	1	1	1	95	95
2	2	75	4	8	16	150	300
3	3	55	9	27	81	165	495
4	4	25	16	64	256	100	400
5	5	5	25	125	625	25	125
	15	255	55	225	979	535	1415

 

 

Решим данную систему уравнений  по формулам Крамера.

; ;

Получаем уравнение регрессии:

Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз.

Максимальное значение прибыли, то есть у достигается в вершине параболы.

.

Ответ: уравнение регрессии ; наценка, дающая максимальную прибыль .

 

 

 

Задача5

 

Экономика разделена  на три отрасли: промышленность, сельское хозяйство, прочие отрасли. На плановый период заданы коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция
	I	II	III
I
II
III

 

По этим данным рассчитать плановые объемы валовой продукции  и межотраслевые поставки, определив матрицу полных затрат итерационным методом, ограничившись четырьмя членами разложения.

 

№ вар.

а11

а12

а13

а21

а22

а23

а31

а32

а33

y1

y2

y3

           

11

0,2

0,0

0,2

0,3

0,2

0,1

0,2

0,0

0,1

110

90

190

                                    

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат, учитывая косвенные материальные затраты  до второго порядка включительно.

Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

Матрица коэффициентов  косвенных затрат 2-го порядка:

Матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

 

Рассчитаем плановые объемы валовой  продукции:

 

Рассчитаем межотраслевые поставки:

, где X_j - валовый продукт j отрасли, а a_ij - прямые затраты.

Ответ: плановые объемы валовой продукции ; межотраслевые поставки .

 

 

                                             Задача6

 

Некоторой компании принадлежат  три фермы, на которой выращивают овощи, предназначенные для последующей  обработки на двух холодильных заводах  компании. Одним из выращиваемых овощей являются бобы, которые холодильные  заводы продают. В таблице приведены максимальные значения урожая для каждой фермы, прогнозные значения спроса на следующий сезон для каждого завода и стоимость транспортировки бобов.

 

Фермы	Заводы		Урожай, т
	1	2
1
2
3
Спрос, т

 

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

№ вар.	c11	c12	c21	c22	c31	c32	а1	а2	а3	B1	b2
11	10	15	12	12	18	9	2000	3000	1000	2750	3250

                                

 

Решение:

1. Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.