Контрольная работа по "Математике"

 
 
 
 

                                          Специальность  Финансы и кредит

                                          Форма обучения Заочная

                                          Группа 104Ф

                                          Студент Шевелёва Л.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2011г. 

Задание №1

По оценкам  экспертов вероятности банкротства  для двух предприятий, производящих однотипную продукцию, равны 0,3 и 0,1. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна…

РЕШЕНИЕ:

Введём  обозначения событий: А₁ – банкротство первого предприятия, А₂ – банкротство второго предприятия. Тогда Р(А₁)=0,3 и Р(А₂)=0,1. Поскольку эти события независимы, вероятность банкротства обоих предприятий вычисляется по формуле _Р(А1) Р(А₂)

Следовательно, искомая вероятность будет равна 0,30,1=0,03 

ОТВЕТ: вероятность  банкротства обоих предприятий  равна 0,03. 

Задание №2

Найти М(Х), Д(Х), (Х), если дискретная случайная величина Х задана законом вероятностей

 

РЕШЕНИЕ:

Определим математическое ожидание случайной величины: М(Х) =

М(Х) = 10,4 + 20,2 + 30,4 = 2 

Определим дисперсию для данной случайной величины: Д(Х) = М(Х²) – М²(Х)

     М(Х²) =

М(Х²) = 10,4 + 40,2 + 90,4 = 4,8

Д(Х) = 4,8 – 2² = 0,8 

Определим среднеквадратическое отклонение по формуле: (Х) =

(Х) = = 0,89 

ОТВЕТ: М(Х)=2, Д(Х)=0,8, (Х)=0,89. 

Задание №3

Вероятность появления события А в 8 независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, равна 0,3. Тогда дисперсия числа появления этого события равна…

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу  Д(Х) = nq,

где n – число испытаний, - вероятность появления события А, q – вероятность появления события (противоположного А). Тогда

Д(Х) = 8(1-0,3) = 1,68 

ОТВЕТ: дисперсия  числа появления события А  равна 1,68 

Задание №4

В первой урне 7 белых и 3 чёрных шаров. Во второй урне 15 белых и чёрных 5 шаров. Из наудачу взятой урны вынули 1 шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна…

РЕШЕНИЕ:

Введём обозначения  событий: А₁ – взяли первую урну, А₂ – взяли вторую урну, В – вынули белый шар, В₁ –из первой урны вынули белый шар, В₂ –из второй урны вынули белый шар. Тогда

Р(А₁) = Р(А₂) = , Р(В₁) = = , Р(В₂) = = =

События  А₁ и А₂ несовместимы, события А₁ и В₁ (А₂ и В₂) независимы. Таким образом, используя формулу умножения вероятностей, получаем

Р(В) = Р(А₁В₁ А₂В₂) = Р(А₁В₁) + Р(А₂В₂) = Р(А₁) Р(В₁)+ Р(А₂) Р(В₂)

Р(В) = + = + = = = 0,73 

ОТВЕТ: вероятность  того, что шар окажется белым, равна 0,73 

Задание №5

Из генеральной  совокупности объёма n=60 извлечена выборка

 

Тогда n₄ равен…

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения частоты n₄ используем формулу = n

n₁ + n₂ + n₃ + n₄ =  n

n₄ = n - n₁ - n₂ - n₃ = 60 – 9 – 8 – 7 = 36 

ОТВЕТ: n₄ = 36 
 

Задание №6

Основная гипотеза имеет вид  а=15, то конкурирующей может быть гипотеза

1 – а

2 – а 

3 – а 

4 – а 

РЕШЕНИЕ:

Альтернативной (конкурирующей) гипотезой называется статистическая гипотеза, противоречащая нулевой гипотезе. Альтернативная гипотеза является логическим отрицанием нулевой гипотезы. Поэтому в рассматриваемых в данном задании гипотезах о числовом значении параметра a числовые множества, задаваемые гипотезами, не должны пересекаться. Найдем пересечение числовых множеств, задаваемых гипотезами, для каждого варианта ответа.

1-й вариант: {15} = 15

2-й вариант: {15} = 15

3-й вариант: {15} = 0

4-й вариант: {15} = 15

Анализ пересечений  числовых множеств, задаваемых гипотезами, показывает, что эти множества не пересекаются только в 3-м варианте ответа. 

ОТВЕТ: конкурирующей  может быть гипотеза 3 – а  

Задание №7

Точечная оценка параметра распределения равна  15, тогда интервальная оценка может иметь вид…

Н₁ – (15,16)

Н₁ – (14,15)

Н₁ – (14,16)

Н₁ – (0,15)

РЕШЕНИЕ:

Интервальной  называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, причём сами границы являются функциями  от подлежащего наблюдению значения случайной величины. Таким образом, интервальная оценка для , т.е. точечная оценка должна лежать обязательно внутри интервала. В данном примере . Очевидно, интервальная оценка может иметь вид (14,16). Остальные варианты не подходят, поскольку ни один из других промежутков не содержит саму точечную оценку. 

ОТВЕТ: интервальная оценка может иметь вид Н₁ – (14,16) 

Задание №8

Игральная кость  бросается 1 раз, тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не менее 3 очков, равна…

РЕШЕНИЕ:

Игральная кость  имеет шесть граней, на каждой указано  количество очков от одного до шести  соответственно. Следовательно, число  всех исходов равно шести. Что  бы выпало не менее 3 очков, на верхней  грани должна оказаться либо тройка, либо четвёрка, либо пятёрка, либо шестёрка. Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 4. Применим формулу  классической вероятности Р = , где n – число всех исходов, m – число благоприятствующих исходов. Тогда

Р = = = 0,67 

ОТВЕТ: вероятность  того, что на верхней грани выпадет  не менее 3 очков, равна 0,67 

Задание №9

Два стрелка  производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,8 и 0,75 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна…

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х (Х – число попаданий  в цель) может принимать лишь три  значения: 0, 1, 2. Случайная величина принимает значение 0, если оба стрелка  не попадут в цель, 1 – один из стрелков попал в цель, 2 – оба  стрелка попали в цель. Нас интересует вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в цель.

Найдём  вероятность того, что оба стрелка  не попадут в цель (противоположное  событие требуемому):

Р(Х=0) = (1-0,8) (1-0,75) = 0,20,25 = 0,05

Значит, вероятность искомого события

Р(Х) = 1 – Р(Х=0) = 1 - 0,05 = 0,95 

ОТВЕТ: вероятность того, что цель будет  поражена, равна 0,95 
 

Задание №10

По выборке  объёма n=100 построена гистограмма частот: 

 

Тогда значение а равно…

РЕШЕНИЕ:

Гистограмма –  ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых  служат отрезки длиной h, а высоты равны n_i/h. Тогда площадь под гистограммой

S = h n_i/h = n

В нашем случае, h=2, n=100, k=4. Тогда 2 n_i/h = 100

4 + 12 + а + 18 = 50

а = 16 

ОТВЕТ: а=16 

Задание №11

Мода вариационного  ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна…

РЕШЕНИЕ:

Так как все  элементы входят в вариационный ряд  по одному разу, кроме 4, то выборочная мода

_{= 4}

ОТВЕТ: мода равна 4