Контрольная работа по "Математике"

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ «ЕВРАЗИЙСКИЙ ОТКРЫТЫЙ ИНСТИТУТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

по теме Векторная  алгебра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 1 курса 

группы «ЗГМ-108с»

 

Научный руководитель:

Москва

2012

 

 

1. Вычислить определители:

а) второго порядка ;

б) третьего порядка двумя  способами: 1) правилом треугольников, 2) разложением по элементам любой строки (столбца)

.

Решение:

а) =

б) 1 способ. =

2 способ.

Ответ: -297

2. Найти линейную комбинацию 2а1 - 3а2 + а3 следующих векторов:

а1=(1; 0; 3; -2),

а2 =(-1; 1; 4; 3),

а3 =(-5; 3; 5; 3).

Решение:

2а1 - 3а2 + а3=(2; 0; 6; -4) – (-3; 3; 12; 9) + (-5; 3; 5; 3) = (0; 0; -1; 10)

или, значит

Ответ:

3. Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение:

Запишем матрицу перехода А и найдем ее определитель:

Определить не равен нулю, ранг матрицы равен трем, значит векторы a, b, c линейно независимы, следовательно могут быть приняты в качестве базиса.

Найдем обратную матрицу .Транспонированная матрица:

 

Найдем алгебраические дополнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем обратную матрицу:

=

Находим координаты вектора  d относительно нового базиса:

 =

Ответ: координаты вектора d в новом базисе (-1; 4; 3)

2 способ

 

X₁=

 

X₂=

 

 

X₃=

Ответ: координаты вектора d в новом базисе (-1; 4; 3)

 

4.Дана система векторов:       а1=(1; 1; 4; 2),

                                                  а2 =(1;- 1; -2; 4),

                                                  а3 =(0; 2; 6; -2),

                                                  а4 = (-3; -1; 3; 4),

                                                  а5  = (-1; 0; -4; -7).

Установить: 1) будет ли данная система линейно зависимой, а  также – какие линейные зависимости  имеются в этой системе;

                      2) можно ли представить вектор  а5  в виде линейной комбинации  векторов а1, а2, а4?

Решение:

1) На основании линейной зависимости запишем соотношение ₊ + + ++ = , найдем числа ,

В координатной записи векторное  уравнение равносильно системе  уравнений:

 

 

 

Подставляя во второе, получим:

 

Подставляя в третье, получаем:

 

 

 

Выразим

 

Подставим в четвертое уравнение:

 

 

Учитывая, что  

 

 

Отсюда получаем: 

Заменим в выражении

 

 

Осталось сделать подстановки  в выражение 

 

Полагая

Система векторов оказывается  связанной линейной зависимостью

  ₊ + + + =

Ответ: данная система  линейно зависима, например линейной зависимостью ₊ + + + =

2) Вектор   можно представить в виде линейной комбинации векторов _, , , если система из этих векторов линейно зависима.

На основании линейной зависимости запишем соотношение  ₊ +  ++ = , найдем числа ,

В координатной записи векторное  уравнение равносильно системе  уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если  

Значит, система векторов оказывается связанной линейной зависимостью

  ₊ + + =

Вектор   можно представить в виде линейной комбинации:

=

Ответ:=

5. Даны координаты вершин  пирамиды АВСD: А (2; 1; 0), В (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы   и в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор  ; 4) найти площадь грани АВС;  5) найти объем пирамиды ABCD.

Решение:

1)=

==

=

 

 

 

2) cos

Значит 

3) =2

4) Грань ABC – треугольник. Воспользуемся формулой площади треугольника, построенного на векторах

 

=

 

5) Вычислим объем пирамиды по следующей формуле:

 

=