Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

 

 

Контрольная   работа по предмету:

На тему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                            Выполнил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2012

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.1.

Для откорма  животных используется три вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800 г. жиров, 700 г. белков и 900 г. углеводов. Содержание в 1 кг. каждого вида комбикорма жиров белков и углеводов (граммы) приведено в таблице:

Содержание в 1 кг.	Комбикорм
	А	В	С
Жиры	100+10а	200	300
Белки	170	100+10а	110
Углеводы	380	400	100+10а
Стоимость 1 кг	31	23	20

Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы  полученная смесь имела минимальную  стоимость? Составить математическую модель ЗЛП и решить ее на ЭВМ, провести анализ решения. Значение параметра «a» соответствует номеру своего варианта (а = 19).

Решение:

Содержание в 1 кг.	Комбикорм
	А	В	С
Жиры	490	200	300
Белки	170	490	110
Углеводы	380	400	490
Стоимость 1 кг	31	23	20

 

Математическая  модель задачи есть:

Х₁, Х₂, Х₃ – количество комбикорма А, В и С.

Стоимость смеси есть: 31Х₁+23Х₂+20Х₃ → min

Ограничения на количество ингредиентов: 

490Х₁+200Х₂+300Х₃≥800

170Х₁+490Х₂+110Х₃≥700

380Х₁+400Х₂+490Х₃≥900

Х_1,2,3≥0

 

Отчет по результатам

 

 

 

 

Отчет по устойчивости

 

 

Самостоятельно  с использованием ЭВМ решить поставленные задачи линейного программирования (ЗЛП) и найти оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В.

Отчет должен содержать решения поставленных ЗЛП (значения переменных x_i  u y_j , значения целевых функций), смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.

 

Задача 5.2.

Директор  предприятия А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ – для стороны А и B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ – для В.

Вероятности успеха для стороны А приведены в платежной матрице:

Платежная матрица

Ai\Bj	B1	B2	B3	B4	B5
A1	30	70	50	40	60
A2	90	20	10	30	30+а
A3	30+а	40	30	80	60
A4	50	40	30	60	90
A5	20	30	30+а	60	10

 

Определить  оптимальные стратегии для каждой стороны.

Значение  неизвестного параметра «а» взять равным номеру варианта (а = 19).

Решение:

Платежная матрица

Ai\Bj	B1	B2	B3	B4	B5
A1	30	70	50	40	60
A2	90	20	10	30	49
A3	49	40	30	80	60
A4	50	40	30	60	90
A5	20	30	49	60	10

 

Необходимо  найти оптимальные стратегии  для обоих игроков А и В в предположении, что чем больше выигрыш одного игрока, тем он меньше для другого. Определить среднюю прибыль А.

Рассмотрим  задачу со стороны фирмы А. 

Для ее решения  нужно составить соответствующую  задачу линейного программирования, то есть необходимо найти минимум функции.

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅→min;

при ограничениях:

30x₁ + 90x₂ + 49x₃ + 50x₄ + 20x₅≥1;

70x₁ + 20x₂ + 40x₃ + 40x₄ + 30x₅≥1;

50x₁ + 10x₂ + 30x₃ + 30x₄ + 49x₅≥1;

40x₁ + 30x₂ + 80x₃ + 60x₄ + 60x₅≥1;

60x₁ + 49x₂ + 60x₃ + 90x₄ + 10x₅≥1;

x₁ ≥0; x₂ ≥0; x₃ ≥0; x₄ ≥0; X₅ ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки EXCEL «Поиск решения».

Решение прямой ЗЛП

 

Результат:

x₁ = 0,018

x₂ = 0,004

x₃ = 0,002

x₄ = 0

x₅ = 0, что видно из ячеек В1 – F1.

Вводим  в А5 подпись «Цена игры».

 

Решение примера для фирмы А

 

Результат: 41,636 – это средняя вероятность  выигрыша для игрока А (цена игры).

Вероятности чистых стратегий в смешанной  стратегии p:

Р1=0,749

Р2=0,168

Р3=0,083

Р4=0

Р5=0

Следовательно, оптимальными стратегиями для фирмы А являются 1, 2 и 3.

Таким образом, в 1, 2 и 3 районах предприятие А должно реализовывать свою продукцию и в пропорциях 75%, 17% и 8%, соответственно, чтобы получить оптимальную прибыль вне зависимости от поведения конкурента В.

Рассмотрим  теперь решение относительно игрока В.

ЗЛП для  игрока В имеет вид:

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅→ max;

30y₁ + 70y₂ + 50y₃ + 40y₄ + 60y₅≤1;

90y₁ + 20y₂ + 10y₃ + 30y₄ + 49y₅≤1;

49y₁ + 40y₂ + 30y₃ + 80y₄ + 60y₅≤1;

50y₁ + 40y₂ + 30y₃ + 60y₄ + 90y₅≤1;

20y₁ + 30y₂ + 49y₃ + 60y₄ + 10y₅≤1;

y₁≥0; y₂≥0; y₃≥0; y₄≥0; y₅≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки EXCEL «Поиск решения».

 

Результат:

у₁ = 0,009

у₂ = 0

у₃ = 0,013

у₄ = 0,002

у₅ = 0, что видно из ячеек В1 – F1.

Вводим  в А5 подпись «Цена игры».

 

Решение примера для фирмы В

 

Результат: 41,636 – это средняя вероятность  выигрыша для игрока В (цена игры).

Вероятности чистых стратегий в смешанной  стратегии q:

q1=0,373

q2=0

q3=0,536

q4=0,091

q5=0

Следовательно, оптимальными стратегиями для фирмы В являются 1, 3 и 4.

Таким образом, в 1, 3 и 4 районах предприятие В должно реализовывать свою продукцию и в пропорциях 37%, 54,% и 9%, соответственно.

Цена  игры в обоих случаях = 41,636 и оптимальная  стратегия для обоих игроков  третья.

Задание 5.3.

Решить  игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков (матрица приведена  для игрока А).

Платежная матрица

Аi\Вj	В1	В2	В3	В4	В5
А1	9	a	6	3	5
А2	10	7	a	7	5
А3	5	8	12	11	1
А4	5	6	4	8	a

 

Значение  неизвестного параметра «а» взять равным номеру варианта (а = 19).

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для обоих игроков, полученные в результате решения  на ЭВМ смешанные стратегии для  обоих игроков и цену игры g.

Решение:

Платежная матрица

Аi\Вj	В1	В2	В3	В4	В5
А1	9	19	6	3	5
А2	10	7	19	7	5
А3	5	8	12	11	1
А4	5	6	4	8	19

 

Прямая  и двойственная задачи линейного  программирования

имеют вид:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ →min;

9x₁ + 10x₂ + 5x₃ + 5x₄ ≥1;

19x₁ + 7x₂ + 8x₃ + 6x₄ ≥1;

6x₁ +19x₂ +12x₃ +4x₄ ≥1;

3x₁ +7x₂ +11x₃ + 8x₄ ≥1;

5x₁ +5x₂ +1x₃ + 19x₄ ≥1;

x_i ≥0; i=1, 2, 3, 4.

 

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅ →max;

9y₁ + 19y₂ + 6y₃ + 3y₄ + 5y₅ ≤1;

10y₁ + 7y₂ + 19y₃ + 7y₄ + 5y₅ ≤1;

5y₁ + 8y₂ + 12y₃ + 11y₄ + 1y₅ ≤1;

5y₁ + 6y₂ + 4y₃ + 8y₄ + 19y₅ ≤1;

y_j≥0; j=1, 2, 3, 4, 5.

Из решения  игры можно найти цену игры

g =1/( x₁ + x₂ + x₃ + x₄) =1/( y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅)

и вероятности  состояний

p_i = x_i g, (i = 1, 2, 3, 4); q_j = y_j g, ( j =1, 2, 3, 4, 5) .

 

                        Решение примера для игрока А

 

Решение примера для игрока В