Контрольная работа по "Математика"

1) Дана система линейных уравнений.  

 Доказать  её совместимость и решить двумя  способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

 Система называется совместимой, если ранг матрицы  А равен рангу матрицы А^{`</sup>. Минор второго порядка матрицы А находящийся в первых двух строках и первых  двух толбцах равен 7 он не равен  нулю,   ранг матрицы равен 2. Минор второго порядка матрицы А<sup>`} находящийся в первых двух строках и первых  двух столбцах равен -19 он не равен нулю,   ранг матрицы равен 2. r(А)=r(А^`)=2, а значит система совместима и имеет хотя бы одно решение.

 Решим систему линейных уравнений методом  Гаусса.  Умножим первое уравнение  системы на 2 и вычтем из него второе уравнение, далее умножим второе уравнение на 3, а третье уравнении на 2 и вычтем третье уравнение из второго.

   

 

 Получаем  систему

 

 Умножим первое уравнение на 13, а второе на -7 и вычтем из первого уравнения  второе.

 

 Получим систему 

 

 Откуда  x₃=2. Подставляя значение x₃ во второе уравнение получим 13x₂-4=48, откуда x₂=4.  Подставляя значения x₁ и x₂ в третье уравнение получим 3x₁-8-10=6, откуда x₁=8.

 Проведем  проверку подставим все значения в исходную систему уравнений:

 8-8+6=6

 16+12-8=20

 24-8-10=6

 Все равенства сошлись ответы найдены  верно.

Решим   систему методом матричного исчисления. Составим на основе системы матрицу и найдем её определитель. 

 

Найдем  девять дополнений к исходной матрице.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Составим  из них матрицу:

 

 

Ответ: x₁=8, x₂=4, x₃=2. 

2) Даны векторы a=(4;7;8), b=(9;1;3), c(2;-4;1), d=(1;-13;-13) в некотором базисе. Показать, что векторы a,b,c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Необходимо  составить матрицу из векторов a,b,c и если её определитель не равен 0, то это и будет базис векторов a,b,c. После решить уравнение xa+yb+zc=d, x, y, z будут координатами вектора d в этом базисе.

Значит  векторы a,b,c образуют базис. Составим систему линейных уравнений.

Решим её методом Гаусса. Умножим первое уравнение на 7 а второе на 4 и вычтем второе из первого. Затем умножим второе уравнение на 8 и третье на 7 и вычтем третье из второго.

Получим новую систему линейных уравнений

Умножим первое уравнение новой системы  на -13, а второе на 59 и вычтем второе из первого.

Откуда  z=0. Подставляя во второе, а затем в первое уравнение результат получим y=1, x=   -2. Проведем проверку

Все равенства  сошлись решение системы найдено  верно. Ответ координатами вектора  d в базисе векторов a,b,c являются d=(-2;1;0) d=-2a+b 

3)Даны координаты вершин пирамиды A₁(4;4;10), A₂(4;10;2),A₃(2;8;4), A₄(9;6;4). 1) Найти: длину ребра A₁A₂ ; 2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄ ; 3) площадь грани A₁A₂A₃ ; 4) объем пирамиды; 5)уравнение прямой A₁A₂ ; 6)уравнение плоскости A₁A₂A_3. Сделать чертеж.

1)Длину  ребра A₁A₂ найдем по формуле расстояния между 2 точками.

2)Угол  между ребрами A₁A₂ и A₁A₄ найдем как угол между направляющими векторами A₁A₂ и A₁A_4.

Косинус угла между векторами:

 

arcos 0,75 =0,72 рад = 41 градус.

3) Площадь  грани A₁A₂A₃ будет равна 0,5 модуля векторного произведения A₁A₂ и A₁A₃

4)Объем  пирамиды будет равен  модуля смешанного произведения векторов A₁A₂, A₁A₃ и A₁A₄

 

5)Уравнение  прямой A₁A_2. Направляющим вектором прямой является вектор A₁A₂ (0;6;-8). Кроме этого, прямая проходит через точку A₁(4;4;10).

6)Вычислить уравнение плоскости A₁A₂A. Вектор плоскости r(-4;16;12) так же плоскость проходит через точку A₁ (4;4;10)

 

 

4) Найти точку M₁ симметричную точке М (0;2;1) относительно плоскости 2x+4y-3=0.

Найдем  уравнение прямой , которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку М. Т.к. прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве её вектора нормали можно взять направляющий вектор плоскости r=s=(2;4;0). Уравнение искомой прямой

 

Найдем  М₀ пересечение прямой и плоскости. Запишем параметрическое уравнение прямой.

Подставим эти значения в уравнение плоскости.

Найдем  координаты точки пересечения прямой и плоскости

Т. к. М₀ является серединой отрезка ММ^’, то

Ответ М^’ (-1;0;-1).