Контрольная работа по "Математическому анализу"

№ 1

 

Найти решение  дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 3, y'(0) = 0:

9y'' + 6y' + y = -2x

Найдём корни характеристического  уравнения:

9k² + 6k + 1 = 0

k = -

Общее решение ищется в виде:

y = C₁·exp+ C₂·x·exp+ (A·x + B)

Найдём коэффициенты A и B:

9·(A·x + B)'' + 6·(A·x + B)' + (A·x + B) = -2x

6·A + A·x + B = -2x

A = -2

B = 12

Общее решение имеет вид:

y = C₁·exp+ C₂·x·exp- 2·x + 12

Найдём частное решение, соответствующее начальным условиям:

y(0) = C₁·exp+ C₂·0·exp- 2·0 + 12 = 3

y(0) = C₁ + 12 = 3

C₁= -9

y'(0) =  C₁· · exp+ C₂·0· · exp+ C₂·exp= 0

C₁· + C₂ = 0

-9· + C₂ = 0

C₂ = -3

Окончательный результат имеет  вид:

y = - 9·exp- 3·x·exp- 2·x + 12

 

№ 2

 

Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 2, y'(0) = 2:

4y'' + 7y' + 3y = exp(x)

Найдём корни характеристического  уравнения:

4k² + 7k + 3 = 0

k₁ = - 0.75

k₂ = -1

Общее решение ищется в виде:

y = C₁·exp(-x) + C₂·exp(-0.75x) + C·exp(x)

Найдём коэффициент C:

4·C·(exp(x))'' + 7·C·(exp(x))' + 3·exp(x) = exp(x)

4·C·(exp(x)) + 7·C·(exp(x)) + 3·exp(x) = exp(x)

 

C =

Общее решение имеет вид:

y = C₁·exp(-x) + C₂·exp(-0.75x) + ·exp(x)

Найдём частное решение, соответствующее начальным условиям:

y(0) = C₁·exp(-0) + C₂·exp(-0.75·0) + ·exp(0) = 2

C₁ + C₂ = 2 -

y'(0) = -C₁·exp(-0) - 0.75·C₂·exp(-0.75·0) + ·exp(0) = 2

- C₁ - 0.75·C₂ = 2 -

 

Решая систему  уравнений, находим:

 

 

Окончательный результат имеет  вид:

y = ·exp(-x) + ·exp(-0.75x) + ·exp(x)

 

№ 3

 

Решить  дифференциальное уравнение:

x²y' - 2xy = 3y

Это уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:

= +

Проинтегрируем обе части уравнения:

=

ln(y) = - 3·x^-1 + 2·ln(x) + ln(C)

y = exp(-3·x^-1) + C·x²

 

№ 4

 

Найти общее  общение дифференциального уравнения:

y'' + 5·y' + 6·y = 0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдём корни характеристического уравнения k² + 5·k + 6 = 0, получаем k₁ = -1, k₂ = 6. Каждому простому корню k_i соответствует частное решение исходного уравнения, имеющему вид y_i = exp(k_i·x). Общее решение является линейной комбинацией частных решений, следовательно имеет вид:

y = C₁·exp(-x) + C₂·exp(6·x)

 

№ 5

 

Исследовать на сходимость:

·

Определим сходимость, используя признак  д'Аламбера:

= = · · =

=  · · = < 1

Найденный предел меньше единицы, следовательно  ряд сходится.

 

№ 6

 

Найти область сходимости:

 

Определим сходимость, используя признак  д'Аламбера:

= = · =

Предел меньше единицы при условии < 1, отсюда x = 10, x = -8. Полученное значение делит числовую прямую на 3 интервала: (-∞; -8), (-8; 10) и (10; +∞). Значение предела в указанных интервалах представлено в таблице:

Интервал	Значение предела
(-∞; -8)	>1
(-8; 10)	<1
(10; +∞)	>1

Рассмотрим поведение ряда на границах интервала:

x = 10

=

Это гармонический ряд, расходится

x = -8

= -

Это гармонический ряд, расходится

Таким образом, ряд сходится на интервале (-8; 10)

 

 

 

 

 

 

№ 7

 

Разложить функцию в ряд Тейлора:

 

Данную функцию можно представить  как произведение 2-х функций:

= x · (27 - 2·x)^-1/3

Преобразуем данную функцию к виду, применимого для основного разложения ряда:

(27 - 2·x)^-1/3 = · = · (1 + t)^-1/3

, где t = . Таким образом, ряд Тейлора для x₀ = 0 можно записать в виде:

= · (1 + t)^-1/3 = + · tⁿ

=  + ·

 

Область сходимости такого разложения:

< 1

x ∈