Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Министерство образования Российской  федерации

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная  академия экономики и права»

Центр по работе с филиалами и  дистанционному обучению

 

 

 

 

Кафедра: Математики и математических методов в экономике

 

 

 

 

 

Экзаменационная работа

по дисциплине: Линейная алгебра

Вариант № 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил(а):
Курс:
Группа:
Специальность:
Зачетная книжка №:
Адрес электронной почты:
Контактный телефон:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск  2012

Задание 1. Образуют ли векторы и базис в пространстве ?

 

Решение.

 

Базис векторного пространства – это упорядоченная  совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

 

По определению базиса векторного пространства видим, что количество векторов в данной системе недостаточно для того, чтобы быть базисом трехмерного пространства, несмотря на то, что данная система является линейно независимой.

 

Таким образом, векторы  и не образуют базис в пространстве .

 

Задание 2. Является ли алгебраическое уравнение уравнением окружности?

 

Решение.

 

Каноническое уравнение  окружности имеет вид

Преобразуя данное уравнение  к виду

получим, каноническое уравнение  окружности, проходящей через точку  и радиусом .

 

Таким образом, алгебраическое уравнение  является уравнением окружности.

 

Задание 3. Решить систему уравнений

 

 

матричным методом.

 

Решение.

 

Согласно матричному методу решение системы уравнений будет иметь вид

, где  - матрица-столбец из свободных членов системы.

Необходимо найти обратную матрицу 

Матрица системы имеет вид

Найдем определитель данной матрицы

Так как  , то обратная матрица существует. Для ее нахождения вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы .

         

Тогда

 

Таким образом, решением является

 

Задание 4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

 

 

Решение.

 

Найдем характеристическое уравнение матрицы 

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения

 и  - собственные значения матрицы .

Т.к. и - комплексные значения, то матрица не имеет собственных векторов.

 

Задание 5. В треугольнике с вершинами , , найти уравнение высоты, проходящей через точку .

 

 

 

Решение.

 

Для нахождения уравнения  высоты, проходящей через точку  , перпендикулярной прямой , необходимо найти уравнение прямой .

 

Чтобы найти уравнение  стороны  треугольника , необходимо найти уравнение прямой проходящей через точки и .

Так как  и , то уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

Общее уравнение стороны  треугольника имеет вид

Уравнение стороны  треугольника с угловым коэффициентом имеет вид

 

Найдем уравнение высоты проведенной из вершины треугольника к противоположной стороне , т.е. найдем уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой с уравнением .

Т.к. высота треугольника , проведенная из вершины , перпендикулярна стороне , то . Тогда уравнение высоты можно представить в виде

Тогда общее уравнение высоты имеет вид