Контрольная работа по "Эконометрике"

Содержание

Задача № 1 ………………………………………………………………………3

Задача № 2 ………………………………………………………………………15

Задача № 3………………………………………………………………………..25

Задача №4 ……………………………………………………………………….28

Список литературы………………………………………………………………35

 

 

 В соответствии с  номером зачетной книжки принимается  номер варианта №3 (последняя  цифра зачетной книжки).

 Задание № 1.

Данные приведены в  таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Районы	y	x
1	22,5	46
2	25,5	54
3	19,2	50,2
4	13,6	43,8
5	25,4	78,6
6	17,8	60,2
7	18	50,2
8	21,0	54,7
9	16,5	42,8
10	23	60,4
11	14,6	47,2
12	14,2	40,6

Необходимо:

1) Рассчитать параметры  уравнений регрессии  y=a+bx+ ε и y=a+b* +e.

2) Оценить тесноту связи  с помощью индексов корреляции  и детерминации.

3) Рассчитать средний  коэффициент эластичности и дать  сравнительную оценку силы связи  фактора с результатом.

4) Рассчитайте среднюю  ошибку аппроксимации и оцените  качество модели.

5) С помощью F-статистики  Фишера  (при α=0,01) оценить надежность уравнения регрессией

6) Рассчитайте прогнозное  значение y_пр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для α=0,01.

Решение:

Оценки параметров  линейной регрессии y=a+bx+ ε могут быть рассчитаны по следующим формулам:

 и  ,                                            (1)

где - среднее значение факторного признака;

   - среднее значение результативного  признака;

n - количество наблюдений  в выборочной совокупности.

- дисперсия факторного признака  

Необходимые для вычислений значения приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Расчетные значения

N	yi	xi	xi*yi	yi2	xi2
1	22,5	46	1035	506,25	2116	40,84
2	25,5	54	1377	650,25	2916	2,59
3	19,2	50,2	963,84	368,64	2520,04	4,80
4	13,6	43,8	595,68	184,96	1918,44	73,81
5	25,4	78,6	1996,44	645,16	6177,96	686,91
6	17,8	60,2	1071,56	316,84	3624,04	60,98
7	18	50,2	903,6	324	2520,04	4,80
8	21,0	54,7	1148,7	441	2992,09	5,33
9	16,5	42,8	706,2	272,25	1831,84	91,99
10	23	60,4	1389,2	529	3648,16	64,14
11	14,6	47,2	689,12	213,16	2227,84	26,95
12	14,2	40,6	576,52	201,64	1648,36	139,03
Σ	231,3	628,7	12452,86	4653,15	34140,81	1202,17
Средние значения	19,275	52,391	1037,738	387,762	2845,0675

 

_{С учетом этих числовых значений получается:}

 

100,25

0,278 4,71

Тогда уравнение линейной парной линейной регрессии имеет следующий вид:

y=4,71+0,278*х

 Линейный коэффициент  парной корреляции (r_xy) определяется:

 

,                                                      (2)

где  и

 

 

Коэффициент корреляции близок к нулю-связь между признаками отсутствует.

  Коэффициент детерминации (r²_xy):

 

r²_xy=0,691²=0,477

Полученное значение коэффициента детерминации означает, что парная линейная регрессия вида y=4,71+0,278*х объясняет только 47,7 % общей вариации результативного признака, остальные 52,3% вариации результативного  признака объясняются изменением факторов, не включенных в модель.

Значение среднего коэффициента эластичности определяется по  формуле:

 

                                            ₍₃₎

где f'(x) - первая производная  уравнения регрессии по х.

Для уравнения парной линейной регрессии y=4,71+0,278*х:

 

f'(x)=0,278

   В модели парной  линейной регрессии при изменении  среднего значения заработной  платы и социальных выплат  на 1% уровень потребительских расходов  в среднем по совокупности  изменится на 0,755 % от своего среднего значения.

Средняя ошибка аппроксимации  определяется по формуле:

 

                                    ₍₄₎

где y_i - эмпирические (наблюдаемые) значения результативного признака;

- теоретические значения результативного  признака (т.е. значения, рассчитанные  на основе полученного уравнения  регрессии).

Значение  рассчитано в таблице 3.

Таблица 3 -  Расчетные параметры

№	yi	xi
1	22,5	46	17,498	5,002	0,222311	25,02
2	25,5	54	19,722	5,778	0,226588	33,38528
3	19,2	50,2	18,6656	0,5344	0,027833	0,285583
4	13,6	43,8	16,8864	3,2864	0,241647	10,80042
5	25,4	78,6	26,5608	1,1608	0,045701	1,347457
6	17,8	60,2	21,4456	3,6456	0,204809	13,2904
7	18	50,2	18,6656	0,6656	0,036978	0,443023
8	21,0	54,7	19,9166	1,0834	0,05159	1,173756
9	16,5	42,8	16,6084	0,1084	0,00657	0,011751
10	23	60,4	21,5012	1,4988	0,065165	2,246401
11	14,6	47,2	17,8316	3,2316	0,221342	10,44324
12	14,2	40,6	15,9968	1,7968	0,126535	3,22849
Σ	231,3	628,7	231,2986	27,7918	1,47707	101,6758

 

Средняя ошибка аппроксимации  для парной линейной регрессии:

 

=1,477*100/16=9,231%

В среднем расчетные значения, полученные с помощью уравнения  парной линейной регрессии, отличаются от фактических значений на 9,231 %. Значение средней ошибки аппроксимации лежит в пределах допустимых значений (8%-10%), что говорит об удачном выборе модели регрессии.

 

    Рассчитаем значение F-критерия Фишера :

 

,                                            (5)

где n-объем выборки;

m-количество оцениваемых  параметров в уравнении регрессии.

 

9,12

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=2-1=1; v₂=12-2=10 равно 10,04. Так как F_факт<F_крит, то принимается гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения парной линейной регрессии (это означает, что оценки параметров а и b сформировались под воздействием  случайных факторов).

 

Х_п= *1.05=52,391*1,05=55,01 м². - значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня.

Прогнозное значение результативного  признака (Y_п) определяется путем подстановки в соответствующее уравнение регрессии прогнозного значения факторного признака (Х_п).

Y_п=4,71+0,278*55,01=20,003 тыс.у.е.

Затем вычисляется средняя  стандартная ошибка прогноза (m_Yп):

 

                                        ₍₆₎

где _.

 

Предельная ошибка прогноза (∆_Yп):

 

∆_Yп=t_табл(α,v)*m_Yп

Доверительный интервал прогноза (γ_Yп):

γ_Yп=Y_п±∆_Yп

γ_Yп=Y_п-∆_п

_Yп=Y_п+∆_Yп

Значение  рассчитано в таблице 3, значение рассчитано в таблице 2 .

 

 

 

При n=12 и m=2 число степеней свободы v=n-m=12-2=10

При уровне значимости α=0.01  и v=10 коэффициент доверия   t_α =3,169

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 99 %

случаев составит:

 

Dγ_Yп =3,169*3,327=10,542

  Строим доверительный  интервал, т.е. интервал, включающий  в себя оцениваемое значение  с вероятностью 1-α=1-0,01=0,99.

Доверительный интервал прогноза, полученного на основе парной линейной регрессии Y_п=4,71+0,278*x:

              γ _Yп=55,01 ±10,542

              γ _Yп(min)= 55,01 - 10,542=44,468

               γ_Yп(max)= 55,01 + 10,542=65,552

              D_γ=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)= 65,552/44,468=1,474

Рассчитанный прогноз  уровня потребительских расходов является надежным, но не достаточно точным, потому что верхняя граница доверительного интервала прогноза больше его нижней границы в 1,474 раза.

 

 Для построения уравнение регрессии y=a+b* произведем замену z= . Тогда: y=a+b*z

Для расчета оценок параметров а и b используем данные таблицы 4

Таблица 4 – Расчетные показатели

N	yi	zi	zi*yi	yi2	zi2
1	22,50	6,78	152,60	506,25	46,00
2	25,50	7,35	187,39	650,25	54,00
3	19,20	7,09	136,04	368,64	50,20
4	13,60	6,62	90,01	184,96	43,80
5	25,40	8,87	225,19	645,16	78,60
6	17,80	7,76	138,11	316,84	60,20
7	18,00	7,09	127,53	324,00	50,20
8	21,00	7,40	155,31	441,00	54,70
9	16,50	6,54	107,95	272,25	42,80
10	23,00	7,77	178,75	529,00	60,40
11	14,60	6,87	100,31	213,16	47,20
12	14,20	6,37	90,48	201,64	40,60
Σ	231,30	86,50	1689,66	4653,15	628,70
Средние знач.	19,275	7,208	140,805	387,7625	52,391