Контрольная работа по "Геометрии"

   Ну вот мы и показали азбуку способов на примерах.

 

 

Общие правила решения позиционных  задач.

 

                                                                                    Кто изучил науки, а к

                                                                                    делу их не применяет,

                                                                                      словно тот, кто арык

                                                                                      прорыл, а поле не засе-

                                                     ял.

А. Навои

  Зачем человек  с детства учится изображать и распознавать буквы? Конечно, не ради искусства каллиграфии, а затем, чтобы сочетая буквы в слова, спрессовывать их в скупые колонки о событиях в мире или в изысканную вязь сонетов так, чтобы читающий те строки увидел за ними взрывы и горе войны, глубину и нежность любви.

   Зачем  человек изучает язык линий, язык чертежа? Чтобы оптимальные числом линий точно отобразить на чертеже геометрическое «лицо» объектов реального мира. Казалось бы, что ещё? Фотографу-портретисту этого было бы достаточно. Но, например, для научной фотографии умение только отобразить объект – не цель, а лишь средство. По отображениям объектов учёные узнают, как они расположены в пространстве и друг относительно друга, каковы их величины, решая, таким образом огромное число научных и инженерных задач.

   Мы немного  коснулись этого ранее, в главе  о взаимном положении точек,  прямых и плоскостей. Теперь речь  пойдёт о «действующих лицах» - о линиях и поверхностях. Характер  фигуры касания плоскости к  открытому тору будет зависеть от того, с какой стороны этой своенравной поверхности произойдёт их встреча. И именно чертёж при умелом и выгодном расположении фигур относительно плоскостей проекций зачастую быстрее, проще, не говоря уже о наглядности, поможет нам выяснить глубину и нюансы взаимных отношений наших новых действующих лиц – линий и поверхностей.

    Возможные случаи взаимного положения геометрических фигур. Пусть даны две геометрические фигуры Ф1 и Ф2. Каждая из этих фигур может представлять собой дугу кривой линии или отсек плоскости, а может даже сжаться в точку. Для общности рассуждений это безразлично. Важно только, чтобы это было множество точек (кстати, одна точка – это множество, состоящее из одного элемента). Подвигаем эти  фигуры   друг относительно друга, как    показано             Рис.23

 на рис.23, и мы увидим, что вариант расположения  фигур могут быть представлены  в идее таблицы.

   Вот, пожалуй, и всё. Мы перечислили все возможные случаи взаимного расположения геометрических фигур в их качественной оценке.

   С точки зрения инженерных потребностей наиболее интересными являются три случая: инцидентность (принадлежность), пересечение и касание.

   Рассмотрим  отношение принадлежности геометрических  фигур. Можно ли, глядя с высоты  обрыва, уверенно сказать, плывёт воздушный шарик над гладью моря или качается на волне? Или, переведя это на язык геометрических абстракций, узнать, принадлежит ли точка поверхности сферы или находится вне её? Но вот о машине (точек), мчащеёся по шоссе, можно с уверенностью сказать, что она соприкасается с землёй, инцидентна ей, так как лента (линия) шоссе всеми своими точками принадлежит поверхности земли. Мы видим, что даже из повседневных представлений связь точки с поверхностью можно осуществить посредством линии.

   Обратим внимание – выбирать не простейшую линию в пространстве, а такую, которая будет иметь проекции в виде простейших линий – прямых и окружностей, так как их быстро, точно и удобно можно построить на чертеже с помощью линейки и циркуля.

   Обратим  внимание – выбирать не простейшую линию в пространстве, а такую, которая будет иметь проекции в виде простейших линий – прямых и окружностей, так как их быстро, точно и удобно можно построить на чертеже с помощью линейки и циркуля. На рис.24 показано, как задача решается для различных видов поверхностей. Постановка задачи общая: найти горизонтальную проекцию точки А, принадлежащей заданной поверхности. Для конической поверхности в качестве вспомога-                         Рис.24

тельной линии  выбрана прямолинейная образующая (рис.24,а), для поверхности вращения (рис.24,б) – параллель. Однако не всегда удаётся на чертеже провести линию, обе проекции которой простейшие. Ну что же, ключ остаётся тот же,  правда, повернуть его в замке

          Рис.25       удастся не за один, а за несколько оборотов. Для косой плоскости (рис 25) через А” следует провести фронтальную проекцию а” любой (например, плоской) линии, построить её вторую проекцию а’ из условия принадлежности каркасу поверхности, а затем на найденной проекции линии а’ отметить недостающую проекцию точки А’.

   В круге задач о принадлежности фигур мы ограничились лишь одной – о принадлежности точки поверхности, во-первых, потому что нельзя объять необъятное, и, во-вторых, потому что эта задача чрезвычайно важна в свете задания поверхности. Считают, что поверхность задана, если в отношении любой точки, ей принадлежащей, можно подтвердить их инцидентность.

   Следующая  тема – пересечение геометрических  фигур. Итак,  наша задача –  построить общее для заданных фигур множество точек. Это множество может состоять из одной, двух, из множества точек, образующих линию или распадающегося на несколько линий. Результат зависит от характера заданных фигур и их взаимного расположения. Сочетания пересекающихся фигур могут быть в принцпе любыми. В частном случае можно говорить даже о пересечении двух точек. Однако наибольший интерес в инженерной практике представляет пересечение: поверхности и поверхности; линии и поверхности. В частном случае линия может быть прямой, а поверхность – плоскостью.

   Прежде  чем подбирать ключи к задачам  о пересечении поверхностей, не  пытаемся ли мы войти в открытую  дверь? Такой дверью в нашем  случае будет проецирующее положение  хотя бы одной из заданных  поверхностей. Напомним, если одна фигура принадлежит другой – проецирующей, проекция первой принадлежит вырожденной прорекции второй, совпадающей с её следом.

   Но лучше  один раз увидеть… Посмотрим  на рис.26, чертёж подтвердил, насколько  просто решается задача, если  одна из поверхностей проецирующая. В этом случае нужно строитьлишь одну проекцию линии. Вторая её проекция уже существует на чертеже. Её необходимо увидеть.

Для построения линии пересечения двух поверхностей находят ряд точек, общих для  этих поверхностей, и соединяют эти  точки плавной линией. Для нахождения произвольной точки, принадлежащей линии пересечения, следует:

1. Ввести вспомогательную поверхность;
2. Построить линию пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных;
3. На пересечении полученных линий найти искомую точку.

Рис.26

Рис.27

   Вспомогательную поверхность следует выбирать так, чтобы вспомогательные линии пересечения её с заданными поверхностями проецировались в виде простейших линий.

   На рис.27 показано построение точки L, принадлежащей линии пересечения цилиндрической α и конической β поверхностей. В качестве посредника данные поверхности соответственно по окружности а и b, на пересечении которых и лежит искомая точка L.

   В ряде  частных случаев можно заранее  предсказать вид линии пересечения  поверхностей. Эти случаи описываются теоремами, которые доказываются в аналитической геометрии. С точки зрения начертательной геометрии они интересны тем, что дают возможность получить простейшим образом проекции линии пересечения, зная заранее характер кривой и несколько опорных точек. Приведём одну из таких теорем.

   Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка вписаны или описаны вокруг третьей, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения окружностей касания.

   Для нахождения  точки пресечения линии и поверхности  следует:

1. Заключить заданную линию во вспомогательную поверхность;
2. Построить линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной;
3. На пересечении полученной линии с заданной найти искомую точку.

   Теорема 11. Если прямая касательна к кривой, то проекции прямой касательны к соответствующим проекциям кривой.

   Для построения  плоскости, касательной к поверхности  в заданной на ней точке,  следует провести через эту точку две линии, принадлежащие поверхности, и затем две пересекающиеся прямые, касательные к ним в заданной точке. Эти прямые задают искомую плоскость.

   По заданным проекциям геометрических фигур можно судить об их взаимном расположении, т. е. решать позиционные задачи.

   Решение  задач следует проводить согласно  общим правилам (алгоритмам) для  каждого типа задач (принадлежность, пересечение, касание).

   Построения  упрощаются, если фигуры занимают  частное положение относительно  плоскостей проекций.

   Вспомогательные  линии и поверхности следует  выбирать так, чтобы они проецировались  в виде простейших линий. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

                                                                                               Высшее назначение ма-

                                                                                        тематики – находить

                                                                                        порядок в хаосе, кото-

                                                                                  рый нас окружает.

Н. Винер

   Мы всегда  замечали, как долог путь по  незнакомой местности. Второй  раз он становиться как бы  короче, а далее уже проходим  его, не задумываемся, огибая привычные  повороты. Так и первое знакомство с начертательной геометрией казалось несколько сложным и утомительным. Теперь мы прошли и по дорогам начертательной геометрии.

   Геометрия  изучает множества точек или  геометрические фигуры (точки, линии,  поверхности, тела).  При графическом  отображении фигур трёхмерного пространства на двухмерной плоскости возникает необходимость указания законов соответствия между пространственными объектами и их плоскими моделями. Эти законы изучает именно начертательная геометрия. 

   О расположении  фигур в пространстве относительно плоскостей проекций можно судить по характеру расположения их проекций на чертеже относительно оси. О взаимном расположении фигур в пространстве можно судить по характерным признакам взаимного расположения их проекций на чертеже. Эти признаки описывают теоремами.

   Решение  вопросов о взаимном положении  и метрических характеристиках  прямых и плоскостей значительно  упрощается, если прямые и плоскости  занимают частное (параллельное  или перпендикулярное) положение  относительно плоскостей проекции. Это очень удобно для решения задач.

   По заданным  проекциям геометрических фигур  можно судить об их взаимном  расположении, т. е. решать позиционные  задачи. Решение задач следует  проводить согласно общим правилам (алгоритмам) для каждого типа задач (принадлежность, пересечение, касание). Построения упрощаются, если фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Вспомогательные линии и поверхности следует выбирать так, чтобы они проецировались в виде простейших линий.

  Фундаментом логического построения начертательной геометрии являются: понятия, постулаты, определения, основные свойства. На этом основании могут быть доказаны теоремы и сформулированы новые определения. Такая чёткая система во всех формулировках помогает легко запомнить эти правила.

   Что же  такое начертательная геометрия?  Из всех определений сохраним  то изначальное, что было дано  ей отцом Гаспаром Монжем: «Начертательная геометрия преследует две цели: во-первых, дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно, длину и ширину, любых тел природы, имеющих три измерения – длину, ширину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно заданы. Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного расположения».

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

С. А. Фролов, М. В. Покровская; «Начертательная геометрия. Что это такое?»; Минск «Вышэйшая школа»; 1986 год.