Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятности»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования 

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г. Барнауле 

 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

по  дисциплине «Теория вероятности»

Вариант 8 
 
 
 
 

 
 
 

Барнаул 2011 
 

     Содержание

     Контрольная работа №3 3

     Список  используемой литературы 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 1.

     В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящике находится 9 стандартных деталей, а во втором – 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик. Найти вероятность того, что  деталь, наугад извлеченная после  этого из второго ящика, будет  стандартной.

     Решение.

     _{События:}

      = переложена стандартная деталь; = переложена нестандартная деталь;

      = извлечена стандартная деталь  из 2-го ящика

      ;

      ;

     По  формуле полной вероятности: .

     Ответ:

     вероятность того, что извлечённая деталь из 2-го ящика будет стандартной – 0, 7390 

     Задача 2.

     Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них  в течение года равна 0,001 и не зависит  от состояния других элементов.

     Найти вероятность отказа за год работы:

1. двух элементов;
2. не менее двух элементов.

 
 
 

     Решение.

1. Пусть – событие, когда за год работы отказали два элемента. Тогда найдем, пользуясь асимптотической формулой Пуассона (т. к. ):

      , где  .

     

     

     (Для  сравнения  )

2. Пусть – событие, когда за год работы отказало не менее двух элементов. События (не менее двух элементов) и (отказало менее двух элементов) являются полярными. Поэтому . Если произошло , то это означает, что за год работы не отказало ни одного элемента, либо отказал один элемент. Так как это несовместные события, то по теореме сложения вероятностей имеем:

     

     

     Ответ:

     а) вероятность отказа за год 2-х элементов – 0, 2707;

     б) вероятность отказа за год не менее 2-х элементов  - 0,5940. 

     Задача 3.

     Доля  изделий высшего качества некоторой  массовой продукции составляет 40%. Случайным  образом отобрано 250 изделий.

     Найти вероятность того, что:

     а) 120 изделий будут высшего качества;

     б) изделий высшего качества будет  не менее 90 и не более 120. 

     Решение:

     По  условию p = 0.4, q = 1 - 0.4 = 0.6.

     а) т.к. n = 250 достаточно велико n*p = 250*0.4 = 100 » 10; n*p*q = 250*0.4*0.6 = 60 > 20.

     Следовательно, применяем Локальную теорему  Муавра – Лапласа.

     

     Определяем  x

      , по таблице  f (2.58) = 0,0143

     

     б) Используем Интегральную теорему Муавра-Лапласа:

      ;

     

     Ответ:

     а) вероятность того, что 120 изделий  будут высшего качества - 0,002;

     б) вероятность того, что изделий  высшего качества будет не менее 90 и не более 120  - 0,8965. 

     Задача  4.

     Даны  две случайные величины и , причем имеет биномиальное распределение с параметрами и , а - распределение Пуассона с параметром . Пусть .

     Необходимо:

Найти математическое ожидание и дисперсию .

     Решение.

1. Числовые характеристики биномиального распределения:

     

     Числовые  характеристики распределения Пуассона:

     

     По  свойствам математического ожидания:

     

     

     Тогда,

     По  свойствам дисперсии:

     

     

     Тогда,

     Ответ:

     а) по свойствам математического ожидания – 1,5;

     б) по свойствам дисперсии – 3,7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  используемой литературы:

1. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие. Под редакцией проф. Кремера Н.Ш. -М.: 2010.

2. Гмурман  В.Е. Руководство к решению  задач по теории вероятностей  и математической статистике: учебное  пособие. – М.: Юрайт-издат, 2009.