Комплексні числа

Приклад.

(3+5і)(3-5і) = 9+25 = 34.

Читаючи рівність (a + bі)( a - bі)  = a² + b² справа наліво, робимо висновок,що суму квадратів будь – яких двох чисел  можна подати у вигляді добутку комплексно – спряжених множників.

Приклад

а+9 = (а + 3і )(а – 3і);

 

Ділення комплексних чисел.

Ділення комплексних чисел означають  як дію, обернену до дії множення, коли

 за даним добутком і одним  з множників знаходять другий, невідомий

 множник. Причому в множині  комплексних чисел залишається  вимога, щоб

 дільник був відмінним від  нуля.

 Означення. Часткою комплексних чисел z₁ = a + bi та z_₂ = c + di називається таке комплексне число z_₃= x+yi, яке при множенні на z_₂ дає z_₁. Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.

Доведемо, що частка комплексних  чисел z₁ = a + bі та z₂ = c +  dі визначена і до того ж однозначно, якщо c + dі  ≠  0+0і. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃= x+y, яке при множенні на z_₂ дає z_₁ . За означенням дії ділення, (c + dі)( x+yі)= a + bі. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)і = a + bі.

З умови рівності двох комплексних  чисел випливає:

c x - dy= a

cy +d x=b

Система має єдиний розв’язок:

x= (a c +bd)/ ( c² + d²);

y = (bc- ad)/ ( c² + d²).

Із доведення випливає, що ділення комплексних чисел  відбувається за таким правилом:

(a + bі)/( c + dі) = (a c +bd)/( c² + d²) + (bc- ad)і/( c² + d²).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + bі)/( c + dі) = (a + bі)( c - dі)/( c + dі)( c - dі) = ((a c +bd) + (bc- ad)і )/( c² + d²) = (a c +bd)/( c² + d² ) + ((bc- ad)і)/( c² + d²).

 

Цим принципом користуються під час розв’язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклад. 

(2+5і)/(3-2і) = (2+5і)(3+2і)/(3-2і)(3+2і) = (-4+19і)/13 =  -4/13+19ί/13;

Піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, і ¹ = і, і ²= - 1.

Користуючись рівністю і²= - 1, визначимо кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

і³ = і²і = - 1і  = -і;  і = і³і = - іі = 1; і  = іі = і; і = іі =-1; і = і і = -і; і  = - - і і =1.

Оскільки і = 1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, і ² = і = -1, і³ = і = - і,  і  = і = 1 і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклад.

(2+5 і)² = 4+20і +25і ² = -21+20і;

Геометричне зображення комплексних  чисел

Комплексне число  геометрично  зображують точкою  координатної площини.

 Зручно комплексне  число зобразити у вигляді  вектора 

 Довжина вектора, який  зображає комплексне число, називається  модулем цього комплексного числа.  Модуль комплексного числа позначається  .

 Кут   між додатним напрямком осі абсцис і вектором   називається аргументом комплексного числа.

Задачі

1. Зобразіть на комплексній площині такі комплексні числа:

 

Розв’язання

       Даним  комплексним числам відповідають  точки комплексної площини. Покажемо  їх.

 

 

 

 

2). Знайдіть комплексну  координату середини відрізка AB, якщо комплексні координати його  кінців рівні і z₁ і z₂ відповідно.

 

Розв’язання

Позначимо середину відрізка AB через O₁. Тоді

.

Враховуючи, що комплексна координата вектора дорівнює z₁ – z₂, одержимо

.

Відповідь: .

 

 

3). Зобразіть безліч точок z комплексної площини, які відповідають умові : .

Розв’язання

Представимо z у вигляді x + yi і перетворимо заданий дріб:

.

Уявна частина дробу дорівнює .

Нерівність  рівносильна системі

Нерівність  перепишемо у вигляді . Це співвідношення задає коло з центром в точці (1; 1) і радіусом 1. Точка (1, 0) належить колу, проте її координати не задовольняють другій умові системи. Отриману множину зображено на рис.1

 

Рис.1

 

 

Висновки

 

Математика потрібна в  усіх сферах нашого життя. Це дуже цікава і важлива наука. Кожен її розділ несе в собі безліч нової інформації, яку легко і приємно засвоювати. При чому важливо знати як історію  математики, так і нові відкриття  та досягнення. Комплексні числа наразі найбільша множина,вона має багато підмножин. Історія відкриття цієї множини дуже цікава і довга. Спочатку рівняння не мали коренів, та з відкриттям комплексних чисел отримали розв’язок безліч рівнянь та задач. Це дуже потрібно математиці. Комплексні числа розширили і без того велику, цікаву і досконалу математику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

1.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С.  Алгебра і початки аналізу: Проб. Підруч. для 10-11 кл. серед.шк. – К.: Зодіак-ЕКО, 1996. – 608 с.

2.Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.–Х.: Світ дитинства, 2004.

3.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загально освіт. навч. закладів. – К.: Зодіак – ЕКО, 2003

Інтернет-ресурси

1. http://uk.wikipedia.org/wikі
2. http://5ka.at.ua/load/matematika

 

 

 

 

Додатки

Додаток 1

 

Додаток 2

 

Додаток 3

Додаток 4

Додаток 5