Элементы функционального анализа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

Государственное образовательное  учреждение

 высшего профессионального  образования

«Мурманский государственный  гуманитарный университет»

(МГГУ)

 

 

 

РЕФЕРАТ

Тема: «Элементы функционального анализа»

 

 

 

                                           Выполнил: студент 2 курса, факультета  ФМОИиП

                                        Воробьева Мария Петровна

                                        Проверила: Ст. преподаватель кафедры  МиМОМ                             Шупова  Галина Михайловна 

 

 

 

 

 

Мурманск,  2011

СОДЕРЖАНИЕ

Линейные функционалы…………………………………..................................................3

Список используемой литературы………………………………………………………32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные функционалы

 

Теорема (Банаха — Штейнхауса). Если последовательность линейных функционалов, определенных на банаховом пространстве Е, ограничена в каждой точке х Е, то последовательность норм {||ƒ_n||} этих функционалов также ограничена.

Теорема 1. Если последовательность линейных функционалов {f_n(x)} сходится в себе в каждой точке банаховом пространства Е, то существует линейный функционал f (х) такой, что

                                                                       ƒ_n→ f (х)

для любого х Е.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность {f_n} линейных функционалов сходилась в каждой точке х банахова пространства Е к функционалу f₀, необходимо и достаточно, чтобы

1. последовательность {||f_n||} была ограничена,

2. f_n(x) → f₀(х) любого х из некоторого множества М Е, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е.

Теорема 3. Линейный функционал f₀, заданный на линейном многообразии L, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е, и ограниченный на нем, может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы и притом однозначно.

§ 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия

Нижеследующая теорема показывает возможность продолжения на все пространство без увеличения нормы линейного функционала, заданного первоначально на линейном многообразии L линейного нормированного пространства Е, не обязательно всюду плотном в Е.

Теорема 4. (Банаха —Хана). Всякий линейный функционал f (х), определенный на линейном многообразии L линейного нормированного пространства Е, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т. е. можно построить линейный функционал F(x), определенный на Е и такой, что

1. F(x)= f(x) для x L,
2. ||F||_E=|| f ||_L

Возьмем элемент х₀ L и рассмотрим множество (L; x₀)=L_l элементов вида х + tx₀, где

х L, a t — любое вещественное число.

Очевидно, множество L₁ есть линейное многообразие. Докажем, что каждый его элемент однозначно представим в виде x+tx₀. Допустим, что имеются два представления элемента и L_1.

и = х₁ + t₁x₀ и и = х₂ +t₂x_0,

причем t_{1 ≠} t₂ (в противном случае из х₁₊t₁x₀ = х₂+t₁x₀ получаем, что х₁ = x₂ и представление единственно). Имеем

x₁ — x₂-=(t₂ — t₁)x_о и x₀ = x₁-x₂

         t₂-t₁

Но это невозможно, так  как x₀ L, а х_х и x₂ L. Итак. t₁ = t₂, а значит, х₁ = х₂, и однозначность представления доказана.

Возьмем теперь два элемента x’ и x" L. Имеем

Отсюда

Так как х’ и х" — произвольные элементы из L, независимые друг от друга, то

Существует, следовательно, вещественное число с, удовлетворяющее неравенствам

Возьмем теперь любой  элемент u L₁. По доказанному выше он имеет вид

u=x+tx₀

где элемент х L и вещественное число t однозначно определены. Введем новый функционал φ >(u), определив его для элемента и = x+tx₀ равенством

φ(u)= f (x)-tc,

где с — некоторое фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам (1).

Очевидно, f и φ на L совпадают. Очевидно также, что φ(u) аддитивен. Покажем, что φ(u) ограничен и имеет ту же норму, что и f (x).

Рассмотрим два случая.

1. t > 0. Из x L и из (1) получаем

                           t

                

Итак,

                  

 

2. t < 0. Из (1) получаем

Отсюда

т. е. снова получили (2).

Таким образом, неравенство (2) справедливо для всех u (L;х₀)= L_1. Заменив в (2) и на — u, получим

Отсюда и из

откуда

 

Но так как функционал φ есть продолжение функционала  ƒ с L на L_1, то

Следовательно,

 (отметим, что норму функционала φ мы определяем, исходя из того линейного многообразия, на котором он определен). Таким образом, функционал f(x) продолжен на L₁ = (L; х₀) с сохранением нормы.

Если  пространство Е сепарабельно, то доказательство теоремы Банаха — Хана можно завершить следующим образом. Пусть N—счетное всюду плотное множество в Е. Возьмем элементы этого множества, которые не попали в L, и занумеруем их:

 

 

Распространяя функционал f(x) на многообразия

 

 

и т. д., мы в конце концов построим некоторый линейный функционал φ_ω, определенный на всюду плотном в Е линейном многообразии L_ω, равном объединению всех L_n, причем || φ_ω ||=||ƒ||. Продолжая затем функционал по непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому функционалу F. В общем случае доказательство теоремы Банаха — Хана завершается так.

Рассмотрим  всевозможные продолжения с сохранением нормы функционала ƒ. Как показано выше, такие продолжения существуют. В множестве Φ этих продолжений введем частичное упорядочение, полагая, что

если линейное многообразие L’, на котором определен ƒ', является частью линейного многообразия L", на котором определен ƒ", и ƒ' (х) = ƒ" (х) при х L'. Ясно, что соотношение обладает всеми свойствами упорядочения.

Пусть теперь {ƒ_α} — произвольное упорядоченное подмножество множества Ф. Это подмножество имеет верхнюю грань, которой является функционал ƒ_*, определенный на линейном многообразии L_* = L_α где L_a — область определения ƒ_α, причем

                    

если x L_* есть элемент Lα₀. Очевидно, ƒ_* — линейный функционал и ||ƒ_*|| = ||ƒ||, т. е.ƒ Ф. Таким образом, мы видим, что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет максимальный элемент F. Этот функционал определен на всем Е, так как в противном случае его можно было бы продолжить и F не был бы максимальным элементом Ф.

Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Пусть Е—линейное нормированное пространство и х₀=0 — любой фиксированный элемент из Е.

Тогда существует линейный функционал ƒ(x), определенный на всем Е и такой, что

1) ||ƒ||=1,

2) ƒ(x₀)=||x₀||

Рассмотрим  множество элементов {tx₀} = L, где t пробегает всевозможные вещественные числа. Множество L является подпространством пространства Е, определяемым элементом x₀. На L определим функционал φ(x) следующим образом: если л: = tx₀, то

φ(x₀)=t||x₀||.                                                                     (3)

Очевидно,

1. φ(x₀)=||x₀||,
2. |φ(x)|=|t| ||x₀||=||x||, откуда ||φ||=1

 

Продолжая функционал φ(х) на все пространство без увеличения нормы, получим функционал f (х), имеющий требуемые свойства.

Следствие 2. Пусть в линейном нормированном пространстве Е заданы линейное многообразие L и элемент х₀ £ L_% находящийся на расстоянии d>0 от L(d= inf (||x₀-x||).

Тогда существует функционал ƒ(x), определенный всюду на Е и такой, что

1. ƒ(x)=0 для x L
2. ƒ(x₀)=1
3. ||ƒ||=1

                   d

Рассмотрим  множество (L; x₀). Любой его элемент однозначно представим в виде u=x+tx₀, где х L и t — вещественное число. Построим функционал φ(и) по следующему закону:

Если u=x+tx₀,(u)=t

Очевидно, φ(x) = 0, если x L, и φ(x₀)=1.

Найдем || φ ||. Имеем

 

откуда

 

                                                              (4)

Далее, существует последовательность {x_n} L такая, что

 

lim||x_n-x₀|=d.

Имеем

                          

И так как

               

то

                             

Переходя к пределу, находим

                                    

или

                                                                                                                          (5)

Сравнивая (4) и (5), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах

Для многих конкретных функциональных пространств  можно указать общий вид линейных функционалов, определенных на этих пространствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при  различных исследованиях функциональных пространств.

Линейные функционалы в и-мерном пространстве Еn.

Пусть ƒ — линейный функционал определенный на Еп. Для

 

                                               

где {e₁,e₂,…,e_n} — базис в Еп, имеем

 

 

Обратно, выражение вида

 

                                                                     (1)                                                   

где f i — произвольные числа, есть, очевидно, линейный функционал на Еп. Таким образом, выражение (1) дает общий вид линейного функционала, определенного на п-мерном пространстве. Так как f i можно рассматривать как компонент n-мерного вектора ƒ, то пространство Еп*, сопряженное с Еп, есть также n-мерное пространство с метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Еп.

Пусть, например, ||x|| = m a x |ƺ_i|; тогда

           ⁱ

                             

 

откуда

                                                                     

                                                                                                                     (2)

 

С другой стороны, если взять  элемент

 

То ||x||=1 и

 

и потому

 

                                                                    (3)

Из (2) и (3) следует, что 

 

Если  в Еп ввести евклидову метрику, то легко убедиться, что в Еп* метрика также будет евклидовой.

Согласно  терминологии, принятой в тензорной  алгебре, элементы пространства Еп называются контравариантными, а элементы пространства Еп* — ковариантными. Линейный функционал f (х) представляется в виде скалярного произведения

ƒ (x) = (x, ƒ) .

где х  Е п, f E n*.

Общий вид линейных функционалов в S. Пусть ƒ(х) — линейный функционал, заданный на S.

Положим e_n={ƺ_i⁽ⁿ⁾}, где ƺ_n⁽ⁿ⁾=1 и ƺ_i⁽ⁿ⁾=0 для i≠n и пусть ƒ(e_n)=а_п. Так как сходимость в пространстве S есть сходимость по координатам, то для элемента x ={ƺ₁,ƺ₂,…,ƺ_n,…} имеет место равенство

 

 

 

Отсюда в силу непрерывности функционала ƒ(х) получаем

 

Так как этот ряд должен сходиться для любой числовой последовательности {ƺ_k}, то a_k, начиная с некоторого номера, должны быть равны нулю и, следовательно,

 

 

Так как, обратно, такое выражение  для любых вещественных чисел a_k и любого натурального п есть линейный функционал в пространстве S, то мы получаем: общий вид линейных функционалов, определенных на пространстве s, дается равенством

 

Числа п и a_k, k =1,…,n однозначно определяются функционалом ƒ .

Общий вид линейных функционалов в С [0, 1]. Теорема Рисса. Пусть на С [0, 1] задан линейный функционал ƒ(х). Так как каждая непрерывная функция, заданная на [0, 1] ограничена и так как для непрерывной функции

 

sup x ( t )= max x(ƒ),

^{0≤t≤1                0≤t≤1}

 

то пространство С [0, 1] можно рассматривать как подпространство пространства M [0, 1], где

                                             ||x|| = р (x,0) = sup |х (t)|.

                                                                                           ^{0 ≤t≤1}

Заданный в пространстве С [0, 1] функционал f (х) продолжим с сохранением нормы на все пространство M [0, 1]; продолженный функционал обозначим через F(x),

Рассмотрим функции

 

Очевидно,

  

Пусть

 

                                                  F[u_t(ƺ)]= g (t)

Докажем, что g(t) — функция с ограниченным изменением.

Разобьем [0, 1] на части точками