Элементарные функции

a^log_a^y=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством.

    При  любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

log_a (x×y)=log_a x+log_a y;

log_a (x/y)= log_a x-log_a y;

log_a (x^a)=a× log_a x       (a - любое действительное число);

log_aa=1;

log_a x =( log_b x/ log_b  a)   (b – действительное число, b>0, b¹1).

В частности  из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство 

ln x = (1/(ln e))lg x.       (3) 

   Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде 

lg x =M× ln x. 
 

5. обратно пропорциональная зависимость 

   Переменную  y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k – некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

   Если  считать x независимой переменной, а y – зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

   

                               Рис. 7 

Свойства функции y = k/x.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.
2. Область значения функции – множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.
3. Функция f(x) = k/x – нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f(x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f(x)¢ = -k/x². Функция критических точек не имеет.
4. Функция f(x) = k/x при k>0 монотонно убывает в       (-¥, 0) и (0, +¥), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.
5. График функции f(x) = k/x при k>0 в промежутке    (0, +¥) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке      (-¥, 0) – вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-¥, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +¥).

График функции f(x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7. 

7. тригонометрические  функции

   Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a существуют еще две тригонометрические функции угла a - секанс и косеканс, обозначаемые     sec a и cosec a соответственно.

    sin х

    Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

    Свойства  функции sin х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       sin (х+2p)= sin х.

5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,

    sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z.

7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х)¢ =cos x.

8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,

      и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.

9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

 

        Рис. 8

    Свойства  функции cos х.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.
4. Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:

       cos (х+2p)= cos х.

5. Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z,

    cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)), n Î Z.

7. Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х)¢ =-sin x.

8. Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z,

      и убывает при xÎ (2pn;  p+ 2pn), n Î Z.

9. Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2pn, n Î Z.

График  функции y=cos х изображен на рис. 9.

                                       Рис. 9 

    Свойства  функции tg х. 

1. Область определения функции – множество  всех действительных чисел, кроме числа  х=p/2+pn, n Î Z.
2. Область значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4. Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

tg (х+p)= tg х.

5. Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства:

    tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,

    tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn), n Î Z.

7. Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х)¢ =1/cos² x.

8. Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z,

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой. 

  

          Рис. 10  

    Свойства  функции сtg х.

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.
2. Область значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4. Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

сtg (х+p)= ctg х.

5. Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z.
6. Промежутки знакопостоянства: