Элементарные функции и их графики

y  = k x ,                                                 

где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tan = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .

A x + B y = C ,                          

где по крайней  мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9. 

y = k / x ,                                                 

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k. 

Основные характеристики и свойства гиперболы:       

- область определения  функции:  x 0,  область значений:  y 0 ; 

- функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не   

монотонная в  целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? ); 

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; 

- нулей функция не имеет.

 
График функции  y = ax ² + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат  полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x² и дискриминанта D: D = b² – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

 
Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.

 
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x ³ называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция  . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x ², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак  ±  перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей:  верхнюю или нижнюю.

 
Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения  функции: - < x < +  ( т.e. x R );  

 область значений:  y > 0 ;  

- функция монотонна:  возрастает при  a > 1 и убывает при  0 < a < 1;  

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;   

- нулей функция не имеет.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения  функции: x > 0, а область значений: - < y < +    

( т.e.  y R );    

- это монотонная  функция: она возрастает при  a > 1 и убывает при 0 <   a < 1;   

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;   

  - у функции есть один ноль:  x = 1.

График  функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на /2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: - < x < + ; область значений:  -1   y +1;    

- эти функции  периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные  ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но    

 имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они     

 ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

- функции имеют  бесчисленное множество нулей  ( подробнее см. раздел   

 «Тригонометрические  уравнения» ).  

Графики функций  y = tan x  и  y = cot x  показаны соответственно на рис.21 и рис.22

 Из графиков  видно, что эти функции: периодические  ( их период ),     

 неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности      

( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область            

 определения  и область значений этих функций: 

тригонометрических  функций и их основные свойства приведены в  

одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся  

лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных   

поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го  

координатного угла.