История математики Древнего Египта

 

История математики Древнего Египта

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более  древние, так и в более поздние  времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Основные сохранившиеся  источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

• Папирус Ахмеса или папирус Райнда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
• Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
• Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
• Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
• Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
• Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
• Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

 

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Райнда (записан  ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый  результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки  стран древнего Востока, наводит  на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Система нумерации древних египтян оставалась, по свидетельству многочисленных памятников, по существу неизменной на протяжении трех тысячелетий. Менялась только форма  числовых знаков вместе с эволюцией  египетского письма.

Иероглифы для  изображения чисел
1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

 

Для единицы употреблялся знак ׀ (вертикальная черта). Этот знак несомненно произошел от примитивного изображения чисел зарубками. Знак, означающий сотню, имел значение “измерительная веревка”. Знак тысячи символизировал неопределенное множество.  Знак десяти тысяч означал поднятый кверху палец.

Нумерация египтян была аддитивной, и в начертании целых чисел строго применялся порядковый принцип. Числа, меньше десяти, обозначались простым повторением знака единицы, таким же образом повторялись  знаки десяти и сотни.

При записи числа иероглифы  единицы, десятка, сотни и т.д. писались столько раз, сколько в данном числе единиц в соответствующих  разрядах, причем разряды записывались в порядке, обратном нашему (египтяне писали справа налево).

Например, число 624 писали так:

Уже в скорописном иератическом  письме, заменившем первоначальное иероглифическое  письмо,  которым и написаны дошедшие до нас математические папирусы,  имеются особые знаки как для  первых девяти чисел, так и для  десятков, сотен и тысяч.

Кроме обозначений целых чисел, египтяне имели также специальные обозначения  для дробей  вида и дроби ; основные дроби вида обозначались знаком числа n, над которым ставился знак  (рот- “часть”): .

Счет у египтян состоял из умения складывать, удваивать, дополнять дроби до единицы. Поэтому умножение на целое число и деление без остатка производились с помощью удвоения, т.е. однократного сложения числа с самим собой. Для этого множитель представляли как сумму тех или иных членов последовательности 1,2,4,8,16,…, что всегда возможно. Рассмотрим схему умножения из задачи №32 папируса Райнда, где множитель представлен в виде степеней двойки (колонка слева):

1      12     

2      24     

     / 4      48     

     / 8      96     

Сумма 144

На этом процесс удвоения заканчивается, т.к. среди степеней двойки есть уже необходимые слагаемые множителя, которые отмечались косой чертой.

Деление производилось как  действие, обратное умножению. В задаче №69 папируса Райнда, где делится  , указание гласит: “Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не получишь 1120”.

1        80

/10      800

2        160

/4        320

   ________

1120.

Таким образом, непосредственно  определяется сколько раз делитель содержится в делимом. Частное складывается из чисел, соответствующих слагаемым  делителя, отмеченным черточкой.

Деление целого числа на целое  19:8

Составим таблицу

1        8

/2       16

        4

/      2

/      1

В которой удвоение совершается  один раз, т.к. следующее дало бы число, больше делимого.  Затем совершается  деление пополам, продолжающееся до тех пор, пока справа не получится 1. Целая часть (2) находится так: вычитая  из делимого (19) «частное произведение» (16), находим 3, это число нужно  аддитивно составить из чисел  правого столбца, т.к. последний содержит только степени числа 2, то это возможно единственным способом: 3=2+1. Отмечая  соответствующие строки косыми чёрточками, находим, что частное выражается «смешанным числом»  или тогда .

Так как в общем при  делении целых чисел ответ  не всегда будет однозначным. Например, результат деления 5:12 можно представить  двояко: и , смотря по тому, как разбить число 5 на слагаемые, являющиеся делителем числа 12, т.е. представить ли его в виде 5=4+1 или 5=3+2. Кроме того, как правило, такое разбиение и не всегда возможно. Поэтому непосредственный подбор основных дробей, составляющих результат, в общем случае был очень трудным делом. Отсюда, вероятно, возникла идея составления подсобных таблиц, в которых содержались бы готовые результаты некоторых «опорных» операций.

        Такой опорной операцией в египетской вычислительной технике служит деление 2:k, где k – нечетные целые числа (если k есть четное число 2k^/, то результат сразу представляется основной дробью ^/). В самом деле, каждое целое число представляется с помощью последовательных удвоений (начиная от 1) в виде суммы степеней числа 2. Таким образом, вопрос о делении произвольного числа сводится к вопросу о делении чисел вида , например .

Источниками возникновения  дробей послужили: 1) процесс дробления  целого на части; 2) процесс измерения.

Самым трудным был случай нецелого деления. Общими рациональными  дробями вида египтяне не оперировали. Это не значит, что они не имели вообще представления о таких дробях, они умели по-своему выражать частные вида m:n. Для этого им служили аликвотные дроби-доли единицы вида , которые принято записывать в виде , черточка символизирует египетский знак. Деление m:n  египтяне иногда представляли как умножение ; в этом, быть может, сказалось влияние математики вавилонян, которые всегда приводили деление на целое число к умножению на обратную ему дробь.

Кроме дробей вида , египтяне оперировали еще дробью , для которой имелся знак              

Дроби типа - натуральные дроби,  имели индивидуальные названия (это были доли египетской единицы площади “сетат”).

В вычислительной технике  древнего Египта появилась теоретико-числовая задача о разложении дробей на сумму  аликвотных. Эта задача, не имеющая  единственного решения решалась египтянами эмпирически в несколько  этапов.

Самые простые разложения чиновники должны были знать наизусть, они встречались на каждом шагу. В текстах они употребляются без особых разъяснений.

 

В задачах на “axa”, с современной точки зрения, решаются уравнения первой степени вида , откуда .

Эта задача соответствует  нашим линейным уравнениям с одним  неизвестным. Слово “axa” означает “кучу”, “груду” (в смысле количества), и, конечно это количество есть неизвестная, которую надо найти.

Задача № 26 в папирусе Райнда. “Количество и его четвертая  часть дают вместе 15” (мы бы записали: ), а решение начинается словами: “Считай с 4;от них ты должен взять четверть, имеют 1, вместе 5”. После этого вычисляется и . Это следует понимать так. Вычислитель принимает, что количество есть 4, тогда прибавление четверти количества дает 5, а должно быть второе больше (); поэтому искомое количество также должно быть втрое больше принятого (). Вообще, если «ложное положение» есть и оно дает вместо, то:

, .

Математические знания позволяли  египетскому чиновнику производить  расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе имущества, обмене и распределении продуктов, измерении площадей и объемов, плотин и зернохранилищ, переводе мер веса или емкости в другие единицы  и т.п. Основное внимание в египетских текстах сконцентрировано не на методах  решения задач, а на самих вычислениях.

Некоторая систематизация материала  встречается в папирусе Райнда. Классификация  задач производилась не по методам (например, задачи на пропорции, линейные уравнения и т.д.), а по темам. Задачи на припек   можно объединить в  один класс, задачи о ёмкости зернохранилищ  и сосудов – в другой и т.д. Таким образом, каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений в числах. Однако при решении вычислитель пользуется некоторыми общими законами. Так, решение первой группы задач основано на пропорциональной зависимости, второй – на формулах объема тел и т.д.

Для тренировки учащихся составлялись задачи развлекательного характера, не имевшие прямого практического  применения, либо только имевшие вид  практических. Наиболее яркой из них  была задача на геометрическую прогрессию, - замечательная своей историей ”задача-путешественница”. В дальнейшем она с небольшими модификациями не раз встречалась  в разные эпохи и у разных народов: