Интегрирование тригонометрических функций

 

Дагестанский Государственный  Институт Народного Хозяйства

        

На тему: Интегрирование тригонометрических функций

 

Выполнил ст-т 7гр 1курс ФЭФ

Алимгаджиев Мурад 

Проверил: Миспахов Арсен Ш.

 

 

 

        

                                

 

Интегрирование  тригонометрических функций.

Множество задач  сводится к нахождению интегралов трансцендентных  функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем  наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.

• Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Из таблицы первообразных  сразу заметим, что   и  .

Метод подведения под знак дифференциала позволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса: 

 

Поясним, как были найдены формулы   и , находящиеся в таблице первообразных.

Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.

Воспользуемся методом подстановки:  

Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:  

Осталось провести обратную замену   и t = sinx:  

• Отдельно хочется остановиться на интегралах, содержащих степени тригонометрических функций, вида  .

Подробно о принципах  их нахождении можете ознакомиться в  разделеинтегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида  , где m и n – натуральные числа.

• Когда тригонометрические функции идут в комбинациях с многочленами или показательными функциями, то применяется метод интегрирования по частям. В этом разделе даны рекомендации для нахождения интегралов  ,  .
• Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.

Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так  что выписывайте их на отдельный  листочек и держите перед глазами.

Пример.

Найти множество  первообразных функции  .

Решение.

Формулы понижения  степени дают   и  .

Поэтому  

Знаменатель представляет собой формулу синуса суммы, следовательно,  

Приходим к сумме  трех интегралов.  

• Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.

Выпишем тригонометрические формулы, выражающие синус, косинус, тангенс  через тангенс половинного аргумента:  

При интегрировании нам также понадобится выражение  дифференциала dx через тангенс половинного угла.

Так как  , то  

То есть,  , где  .

Пример.

Найти неопределенный интеграл  .

Решение.

Применим стандартную  тригонометрическую подстановку:  

Таким образом,  .

Разложение  на простейшие дроби подынтегральной функции приводит нас к сумме двух интегралов:  

Осталось провести обратную замену  :  

 

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ:

Формулы, выражающие тригонометрические функции через  тангенс их половинного аргумента, не являются тождествами. Поэтому, полученное выражение   является множеством первообразных функции   только на области своего определения.