Интегрирование рациональных функций

следует отыскивать в виде

а не в виде

поскольку слагаемые  и  - нечётные функции от . Тем самым нам надо будет отыскать всего два неизвестных коэффициента и вместо четырёх: А, А¢, В¢и .

Точно так же, в случае когда R(x) - нечётная функция от х, в искомом разложении можно оставить одни лишь нечётные слагаемые: например, разложение дроби

следует искать в виде

вместо 

сэкономив на поиске чётных слагаемых  и , коэффициенты которых и всё равно окажутся равны 0.     

Разобранный пример 3 показывает, что после разложения правильной дроби в сумму простейших дробей интегрирование сводится к интегрированию полученных простейших дробей. Разберём интегрирование всех четырёх типов простейших дробей по порядку.

Глава II. Интегрирование рациональных дробей

Определение. Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

                                            I.                                  III.     

                                           II.                            IV.    

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Интегрирование простейшей дроби первого типа сводится к  применению табличной формулы:

Интегрирование простейшей дроби второго типа сводится к  табличной формуле после замены вида :

Интегрирование простейшей дроби третьего типа выполняется  с помощью выделения в знаменателе полного квадрата и разбиения интеграла на два слагаемых, которые вычисляются как было показано выше в примере:

 
где и . Осталось подставить :

Интегрирование простейшей дроби четвёртого типа также начинается с выделения в знаменателе  полного квадрата и замены , после чего интеграл приводится к виду , где . Разбиваем этот интеграл на два слагаемых:

Первый из интегралов легко вычисляется заменой :

Для второго интеграла,

мы можем получить формулу понижения степени, если преобразуем его следующим образом:

Последний интеграл преобразуем, применив формулу интегрирования по частям:

Подставив это выражение, получаем:

Это и есть формула  понижения степени, сводящая вычисление интеграла  к вычислению интеграла . Если , то интеграл  - табличный; если же , то для вычисления нужно снова применить формулу понижения степени, и так до тех пор, пока не получится тот же табличный интеграл .         

Пример 4.   Вычислим интеграл

Сделав замену , получаем:

В первом из двух слагаемых  сделаем замену и получим:

Во втором слагаемом  применим описанный выше метод понижения  степени:

Для вычисления ещё раз применим тот же самый приём:

 
Поскольку

имеем

и

 
Рассмотрим теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:         

Пример 5.   Вычислим интеграл

Под знаком интеграла - правильная дробь, поскольку степень числителя, равная 4, меньше степени знаменателя, равной 5. Разложим на множители знаменатель дроби. Это можно сделать, например, группировкой слагаемых:

если учесть, что 

Значит, в разложении дроби

в сумму простейших дробей будут получаться следующие серии  слагаемых: множителю  знаменателя будет соответствовать серия из двух слагаемых, второго и первого типа:

множителю  - одно слагаемое первого типа:

множителю  - одно слагаемое третьего типа:

Итак, ищем методом неопределённых коэффициентов разложение подынтегральной дроби в виде

Приводим правую часть  к общему знаменателю. Этот общий  знаменатель равен  , так что

Поскольку должны быть тождественно равны эти две дроби с одинаковыми  знаменателями, приравниваем числители:

 
Из этого соотношения мы должны найти неизвестные коэффициенты Для этого сначала используем подстановку «удобных» значений , то есть и , которые обращают в 0 скобки и соответственно. При получаем: откуда

При получаем: откуда

Больше «удобных» значений нет. Подставим , то есть приравняем свободные члены левой и правой частей: С учётом того, что и , получаем уравнение

Теперь начнём приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Приравниваем коэффициенты при : С учётом получаем второе уравнение:

Теперь приравняем коэффициенты при : или

Получили систему из трёх линейных уравнений для трёх неизвестных  :

Решая эту систему, получаем

Подставляя найденные  коэффициенты, получаем конкретный вид разложения дроби в сумму простейших:

Значит,

 
         Заметим, что ввиду того, что подынтегральная функция имеет разрывы при и , слагаемое означает в данной формуле кусочно постоянную функцию, принимающую постоянные (но, может быть, различные) значения на интервалах , и .     

Таким образом, в этой главе были рассмотрены основные приемы интегрирования рациональных дробей с использованием их разложения на элементарные дроби  и таблицы интегралов.

Глава III. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Некоторые типы неопределённых интегралов сводятся путём соответствующей  замены к интегралам от рациональных функций. Рассмотрим три таких случая.         

Определение: Будем говорить, что функция рациональным образом зависит от выражения , если можно представить в виде

где  - рациональная функция от переменного .     

Например, функция 

рациональным образом  зависит от , а функция

рациональным образом  зависит от .

Одночленом от двух переменных и назовём выражение вида , где , а показатели степени и  - целые неотрицательные числа. Многочленом от двух переменных и назовём сумму конечного числа одночленом от этих двух переменных. (Считаем, что сумма может состоять и из одного слагаемого, так что каждый одночлен - это частный случай многочлена.)

Например, , ,  - многочлены от переменных и .

Рациональной функцией от двух переменных и назовём отношение двух многочленов от и :

где и  - многочлены от и .

Например, функции 

-

рациональные функции  от и .         

Определение .  Будем говорить, что функция рациональным образом зависит от выражений и , если можно представить в виде

где  - рациональная функция от переменных и .     

Например, функция 

рациональным образом зависит от и , а функция

рациональным образом  зависит от и : нужно взять

Теперь рассмотрим наиболее часто встречающиеся классы интегралов.

3.1. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты.

Рассмотрим интегралы  вида

где  - рациональная функция. Сделаем естественную замену . Тогда и . Получаем:

где . Заметим, что  - это тоже рациональная функция, так как  - тоже многочлен. Таким образом, мы свели дело к вычислению интеграла от рациональной функции , после нахождения которого нужно сделать замену и получить ответ.         

Пример 6. Найдём интеграл

Выполняя естественную замену , получаем:

Подынтегральную дробь  разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид 

Приводя правую часть  равенства к общему знаменателю  и приравнивая числители, получаем:

При «удобном» значении получаем , откуда

При «удобном» значении   получаем , откуда

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях : при получаем:

а при   -

или

Решая получившуюся систему  уравнений 

находим , . Значит, искомое разложение имеет вид

и

    

3.2. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Рассмотрим интегралы  вида

где  - рациональная функция от двух переменных и , а выражения и таковы: , , и .

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций  одного переменного, если сделать естественную замену . Действительно, тогда и , а интеграл приводится к виду

где

Нетрудно заметить, что  функция  рационально зависит от единственного своего аргумента .

Заметим, что точно  та же замена годится и в случае, когда подынтегральная функция  зависит рациональным образом только от .         

Пример 7.   Вычислим интеграл

Подынтегральная функция  рациональным образом зависит от , поскольку её можно записать в виде

Сделаем замену :

Получили интеграл от рациональной дроби  которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель «столбиком»:

Получили частное  и остаток 2, значит, неправильная дробь представляется в виде

Теперь можно вычислить  интеграл:

 
3. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и .

Интегралы вида

где  - функция, рациональным образом зависящая от и , можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного , если сделать так называемую «универсальную» замену

При этом

и , откуда

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к  виду

где

Нетрудно заметить, что   - рациональная функция одного переменного .

Если имеет место  частный случай рациональной зависимости  от и , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

то применять универсальную  замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком  сложным интегралам; в этих случаях  гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

В этом случае

и , откуда

        

Пример 8.   Вычислим интеграл

Выполняя замену , получаем:

Если в том же интеграле  сделать универсальную замену, то получаем:

Получили интеграл от рациональной функции переменного  . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители⁵. Так что первая замена оказалась много лучше второй.             

Замечание .   Замена годится также в случае интеграла , в котором функция рациональным образом зависит от и и обладает следующим свойством:

Тогда при замене нужно использовать формулы

Если же подынтегральная  функция  зависит от своих аргументов несимметричным образом, то ничего не остаётся делать, как применять не всегда приятную универсальную замену .