Интегралы с параметрами

Содержание:

1. Собственные параметрические интегралы.
2. Несобственные параметрические интегралы.

3. Интегралы Эйлера. 
    
   

Введение:

Изучение интегралов, зависящих  от параметра, или параметрических  интегралов, составляет большую тему, охватывающую элементарную теорию собственных  и несобственных интегралов Данная курсовая работа как раз посвящена теме «Интегралы с параметрами», т. е. изучению специального класса функций, представимых в виде интеграла по одной переменной от функции, которая кроме указанной переменной зависит еще от одной переменной , называемой параметром. Функции, представимые такими интегралами, принято называть интегралами, зависящими от параметра. Данная тема является важной для изучения, так как частичный курс интегралов включен в школьную программу, что имеет особую ценность для студентов педагогических университетов.

 

Собственные параметрические  интегралы

Пусть функция задана на прямоугольнике P, где и отрезки вида , . Другими словами, P есть множество точек координатной плоскости , удовлетворяющее условиям . Будем считать, что при любом фиксированном функция интегрируема по Риману на . Определение: Интеграл j называется интегралом, зависящим от параметра . Отрезок в этом случае будем называть множеством значений параметра .

Разумеется, вместо в качестве множества значений параметра может выступать любое подмножество вещественной оси , и в этом случае будем сохранять введенную выше терминологию. Помимо отрезка , чаще всего в качестве такого множества мы будем рассматривать интервалы, открытые и замкнутые лучи, проколотые окрестности точек или саму вещественную прямую .

Утверждение 1:

Пусть функция  задана на прямоугольнике P и непрерывна на нем. Тогда при любом из сегмента при функция стремится равномерно по на к функции .

Свойства интеграла, зависящего от параметра:

 Теорема 1 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна на прямоугольнике P. Тогда интеграл является непрерывной функцией параметра на .

Доказательство:

В силу утверждения 1 функция  стремится равномерно на к функции при . Следовательно, можно сделать предельный переход под знаком интеграла:

,  что и требовалось.

 Теорема 2 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция непрерывна в прямоугольнике P, то функция интегрируема на сегменте . Кроме того, справедлива формула:

.

Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру  под знаком интеграла.

Доказательство:

Согласно предыдущей Теореме 1 функция непрерывна на . Поэтому она интегрируема на этом сегменте. Справедливость формулы следует из равенства повторных интегралов, поскольку оба они равны двойному интегралу P. Теорема доказана.

 Теорема 3 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна на прямоугольнике P и имеет на нем непрерывную производную . Тогда определяемая равенством, полученным в Теореме 1 функция дифференцируема на и

(1)

Иными словами, в условиях теоремы можно дифференцировать под знаком интеграла.

Доказательство:

Рассмотрим получаемое из формулы Лагранжа соотношение

q,

Где, q. Заметим, что q стремится равномерно на к при .

Следовательно, при  допустим предельный переход под знаком интеграла в соотношении

q.

Отсюда и получаем формулу (1). Теорема доказана.

Случай, когда  пределы интегрирования зависят от параметра.

Пусть функция  определена на прямоугольнике P, заданные на функции и отображают в сегмент .

Если при любом фиксированном  из функция интегрируема по на сегменте , то, очевидно, на определена функция

 

представляющая собой  интеграл, зависящий от параметра  , у которого пределы интегрирования также зависят от этого параметра.

Примеры:

1) Найдем , если

Допуская существование  непрерывных частных производных  функций , где , , согласно формуле Лейбница имеем:,

замечая, что 

можем записать , Следовательно ,

2) Найдем , если xxhh, , где непрерывная функция

Очевидно, если функция  непрерывна, то справедливо равенство:

.

 Пользуясь этим равенством  и возможностью дифференцировать  по параметру получаем:

xxxhhxxx

xxxx

 

3) Применяя дифференцирование по параметру вычислим следующий интеграл:

Пусть , тогда функции

 

 

Непрерывны в прямоугольнике P, то справедливо следующее равенство:

 

Из которого интегрированием  находим:

 

где произвольная постоянная.

Поскольку может быть произвольно мало, то полученный результат справедлив при всяком тогда из (1) следует, что

 

Таким образом, если исходный интеграл представляет собой непрерывную функцию параметра , то, с учетом (2), имеем . Но интеграл действительно непрерывен по . Следовательно и при

Учитывая еще очевидное  равенство , окончательно находим

4) Вычислим

 

Функции

 

 

непрерывны в прямоугольнике P. Поэтому можно записать:

 

Откуда 

Устремляя к нулю, замечаем, что этот ответ правилен при . Так как , то . Таким образом,

 

Несобственные параметрические  интегралы

Пусть функция  определена при всех при всех из некоторого множества и при каждом фиксированном из сходится интеграл

 

Определение: Несобственный интеграл (1) называется сходящимся равномерно по параметру на множестве , если функция

 

равномерно на множестве  стремится к предельной функции при

Теорема 1 (критерий Коши)

Для того, чтобы несобственный  интеграл (1) сходился равномерно на множестве  , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что при всех превосходящих и при всех из было справедливо равенство

 

Теорема 2 (признак Вейерштрасса)

Пусть при всех из и всех , принадлежащих полуоси где , для функции выполнено неравенство

 

где интегрируемая (в несобственном смысле) на функция. Тогда интеграл (1) сходится равномерно.

Доказательство:

Поскольку интеграл сходится, то для любого числа найдется такое число , что при любых , таких, что выполняется неравенство

 

Тогда

 

что и требовалось доказать.

Теорема 3 Равномерная сходимость несобственного интеграла

 

на множестве  не имеет места, если найдется такое, что для любого найдутся числа и и такие, что выполнялось бы неравенство

 

Определение: Если интеграл сходится и при всех и имеем , то функция называется мажорантой для на P´

Теорема 4 (признаки Абеля и Дирихле для равномерной сходимости параметрических несобственных интегралов первого рода)

Пусть функция  определена на множестве P´, где , и =. Пусть монотонна по при любом фиксированном .

(А) (признак Абеля). Пусть, кроме того:

1) интеграл  сходится равномерно по на ;

2) функция ограничена на P´, т.е. при некотором вещественном числе и всех P.

Тогда интеграл сходится равномерно на .

(Д) (признак Дирихле). Пусть вместо условий (А) имеем:

1) при некотором  и всех , имеет место неравенство

 

2) функция  равномерно на сходится к нулю при . Тогда, как и в случае (А), интеграл сходится равномерно на .

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся  Критерием Коши. Применяя вторую теорему  о среднем, имеем:

 

где некоторая точка отрезка

Теперь в случае (А) в  силу равномерной сходимости интеграла  при любом и всех достаточно больших имеем и , откуда

 

поскольку при всех и . В силу произвольности числа это влечет за собой равномерную сходимость интеграла и справедливость утверждения (А)

В случае (Д) интегралы от функции  ограничены числом и стремится к нулю равномерно по , поэтому при всяком и достаточно больших выполнено неравенство , откуда с учетом предыдущей формулы имеем

 

что влечет за собой справедливость утверждения (Д) 

Примеры:

1) Определим точки разрыва:

 

Полагая , получаем

 

Очевидно, это выражение  справедливо и при . Точки и являются точками разрыва первого рода функции .

2) Найдем

 

Представим данный интеграл в виде

 

И замечая, что 

 

получаем 

 

3) Проверим сходимость  интеграла:

 

Положим Тогда получим

 

Поскольку при то первый интеграл в правой части равенства (1), в силу признака сравнения, сходится лишь при . Второй интеграл сходится при всяком , так как при достаточно большом . Последнее равенство вытекает из того, что . Следовательно, данный интеграл сходится лишь при

4) Проверим сходимость интеграла:

 

Разобьем данный интеграл на два

 

Так как при , то первый интеграл в правой части равенства (1) сходится при любом (точка является точкой устранимого разрыва функции ). Поскольку

 

И интегралы в силу признака Дирихле, сходятся, а интеграл сходится лишь при , то второй интеграл из (1) сходится лишь при  

Интегралы Эйлера

Функция G непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка при и для них справедлива формула

GN

Основные формулы:

Если  то

GG

(формула понижения)

Если N то

G

А также

G

Если  то

GG

(формула дополнения).

Бета-функция:

Определение: Функция

Ù

Называется бета-функцией, а ее значение-эйлеровым интегралом.

Бета-функция непрерывна в области определения и обладает частными производными любого порядка, которые можно найти путем  дифференцирования по переменным под знаком интеграла. Полезно представление:

 

Связь между и Gфункфиями выражается формулой:

GGG

Примеры:

1) а) Вычислим интеграл:

 

Полагая и пользуясь формулами (2), (3), (6) получаем:

GG

б) N

Полагая, что  получаем:

G

в)

Применяя подстановку  приходим к интегралу

 

Являющемуся второй производной  от бета-функции

 

вычисленной в точке  Следовательно,

 

2) Докажем формулы Эйлера:

a)G

б)G

Нетрудно видеть, что подынтегральные  функции в а) и б) и их производные  по непрерывны при и . Кроме того, данные интегралы (обозначим их через и соответственно) при сходятся по признаку сравнения. Интегралы

 

 

по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно на каждом отрезке

. Действительно,  функция  является мажорирующей для подынтегральных функций в (1) и (2), а интеграл сходится по признаку сравнения. Следовательно, дифференцирование (1) и (2) возможно при

Выполняя в (1) и (2) интегрирование по частям (приняв , соответственно), получаем систему дифференциальных уравнений

 

Решая эту систему находим 

 

Где постоянные; Замечая, что

G

Из (3) определяем эти постоянные: G

Подставляя найденные  значения постоянных в (3), получаем

GG 

Заключение:

Курс лекций по математическому  анализу представляет собой учебник, охватывающий программу по данному предмету на механико-математических факультетах университетов и педагогических вузов. Как показала практика, он может быть с успехом использован студентами технических вузов с углубленным изучением математики. Интегралы с параметрами также входят в обязательный курс лекций по математическому анализу.

Преподавание математического  анализа должно быть подчинено особым требованиям, обусловленным необходимостью подготовки высококвалифицированных  специалистов, способных в будущем  не только получать новые научные  работы, но и в значительной степени  определять мировое развитие математики. Авторы, используемых мной книг, стремились, прежде всего, облегчить процесс усвоения знаний за счет доступного изложения и упрощения доказательств. Доказательство утверждений и примеры должны отличаться живостью, интересом, убедительностью и особенно краткостью, что я и попыталась осуществить в своей курсовой работе.

 

Список литературы:

1. Лекции по математическому анализу. Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков.
2. Курс математического анализа. Л.Д.Кудрявцев.
3. Математический анализ. Том 2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов.
4. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Б.П.Демидович.
5. Основы математического анализа. 2 часть. Г.М.Фихтенгольц.