Интеграл Лебега

2. S = S =

 

Если мы положим

 

l = max (y_k+1 – y_k),

 

то будем иметь

 

0 £ S – s £ lmE. (2)

 

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

 

s₀ £ s, S £ S₀.

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Допустим, что

 

y_i < < y_i+1. (3)

 

Тогда при k ¹ i полусегменты [y_k, у_k+1), а с ними и множества e_k, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [y_i, y_i+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

 

[y_i, ), [ , y_i+1),

 

в связи с чем и  множество e_i разбивается на два множества

 

= E(y_i £ f < ), = E( £ f < y_i+1).

 

Очевидно, что

 

e_i = + , = 0,

 

так что

 

me_i = m + m . (4)

 

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀ заменой слагаемого y_ime_i двумя слагаемыми y_im + m , откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s ³ s₀.

Для верхних сумм рассуждение  аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂.

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃ и S₃, то, в силу леммы, s₁ £ s₃, S₃ £ S₂, откуда, в связи с тем, что s₃ £ S₃, ясно, что s₁ £ S₂, а это и требовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀. Так как для всякой нижней суммы s будет s £ S₀, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{s}.

Тогда, ясно, что

 

U £ S₀.

 

Ввиду произвольности суммы S₀, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через V его точную нижнюю границу

 

V = inf{S}.

 

Очевидно, при любом  способе дробления будет

 

S £ U £ V £ S.

Но, как мы отмечали, S – s £ lmE, откуда

0 £ V – U £ lmE

 

и, так как l произвольно мало, то

 

U = V.

 

Определение. Общее значение чисел U и V называется интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом

 

(L)

 

В тех случаях, когда  смешение с другими видами интеграла  исключено, пишут просто

 

 

В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

 

(L)

 

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если l ® 0, то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу 

Теорема непосредственно  вытекает из неравенств

 

S £ £ S, S – s £ l× mE.

 

Из этой теоремы, между  прочим, следует, что значение интеграла  Лебега, которое в силу самого определения  его связано с числами А и В, на самом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

 

A < f(x) < В, A < f(x) <B*,

 

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

 

A = у₀ < у₁ < ¼ < y_n = В,

 

причем включим и  точку В* в число точек деления В* = у_т.

Если мы составим множества e_k, то легко убедиться, что

 

e_k = 0 (k ³ m).

 

Значит,

 

s = = = s*,

 

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что

 

I = I*,

 

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В.

 

3. Основные  свойства  интеграла

 

В этом параграфе мы установим ряд  свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f(x) £ b, то

 

a× mE £ £ b× mE.

 

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

 

A = a - , B = b + ,

то окажется, что

A < f(x) < B,

 

и суммы Лебега можно  будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но еслиA £ y_k £ B, то, очевидно,

 

A £ £ B

 

или, что то же самое,

 

A× mE £ s £ B× mE,

 

откуда и в пределе

mE £ £ mE.

 

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то

 

= c× mE.

 

Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет

 

= 0.

 

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств

 

E = (E_k = 0, k ¹ k^’),

то

=

 

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

 

Е = + ( = 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

 

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у₀, y₁,¼ , у_n, составим множества

 

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’= E’(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’’= E’’(y_k £ f < y_k+1),

 

то, очевидно, будем иметь

e_k = e_k^’ + e_k^’’ (e_k^’e_k^’’ = 0),

 

откуда

 

= +

 

н в пределе, при l ® 0,

 

= +

 

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим  теорему на случай любого конечного  числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

 

E = .

 

В этом случае

 

 = mE,

 

так что при n ® ¥ будет

 

® 0. (*)

 

Заметив это, положим

 

= R_n.

 

Так как для конечного  числа слагаемых множеств теорема  уже доказана, то

 

= + .

 

В силу теоремы о среднем

 

A× mR_n £ £ B× mR_n,

а в силу (*) мера mR_n множества R_n стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что

 

® 0.

Но это и означает, что

=

 

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то

 

= .

 

Действительно, если

 

А = Е(f ¹ g), B = E(f = g),

то mA = 0 и

= = 0.

 

На множестве же В обе функции тождественны и

 

= .

 

Остается сложить это  равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:

 

 1 при x ³ 0,

f(x) =

 -1 при x < 0,

 

то

= + = -1 + 1 = 0,

 

хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю

 

 (f(x) ³ 0),

 

то эта функция  эквивалентна нулю.

В самом деле, легко  видеть, что

 

E(f>0) = .

 

Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n₀, что

 

mE = s > 0.

 Полагая

 

A = E , B = B - A,

 

мы имели бы, что

 

 ³ s, ³ 0,

 

и, складывая эти неравенства, мы получили бы

 

 ³ s,

 

что противоречит условию.

Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то

 

= + .

 

Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то

 

= c .

 

Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то

 = - .

 

Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если

 

f(x) £ F(x),

то

 £ .

 

Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что

 

 - = ³ 0.

 

Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то

 

 £

4. Предельный  переход под знаком интеграла

 

Здесь мы рассмотрим следующий  вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций

 

f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼ , f_n(x), ¼

 

которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение

 

= (1)

 

Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции f_n(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:

 

 n при xÎ ,

f_n(x) =

0 при x ,

 

то при всяком x Î [0, 1] будет

 

f_n(x) = 0, но = 1,

 

и этот интеграл не стремится к  нулю.

Поэтому естественно  поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию f_n(x), чтобы равенство (1) все же имело место.

Мы ограничимся доказательством  следующей теоремы.

Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x), ¼ измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х)

 

f_n(x) Þ F(x).

 

Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х

 

 < K,

то

= (1)

 

Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Î Е будет

 

 £ K. (2)

 

В самом деле, из последовательности {f_n(x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность { (x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где

 

(x) ® F(x),

 

можно перейти к пределу в  неравенстве  < K, что и приводит к (2).

Пусть теперь s есть положительное число. Положим,

 

A_n(s) = E( )³s), B_n(s) = E( )<s.

Тогда