Геометрия узоров

    Такое название согласуется с определением группы, принятым в математике: множество перемещений плоскости, отображающих орнамент на себя, является группой относительно операции композиции перемещений. «Скелет» орнамента можно понимать как схему его группы симметрии (только на скелете не изображены переносы). Заметим, что любую «симметричную» фигуру данного «порядка» можно некоторым перемещением из группы симметрии отобразить на любую другую фигуру того же «порядка». Если вместо треугольника в фундаментальной области,  в квадрате Ф, заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши построения дадут геометрически новый орнамент; например, так получены орнаменты на рис. 8. Однако орнаменты

1. и Б) имеют ровно ту же группу симметрии, что и предыдущий, - все эти орнаменты относятся к одному типу. Орнамент
2. уже не относится к этому типу: за счет добавочной симметрии заштрихованной подфигуры у этого орнамента появились наклонные оси симметрии, а «половина» центров симметрии порядка 2 превратилась в дополнительную решетку центров симметрии порядка 4.

    На  рис. 9 изображены 15 подфигур Ф, и для  каждой из них указаны некоторые  перемещения f₁ и f₂ ... Оси симметрии отмечены пунктиром, центры поворотов обведены кружком, а в скобках указаны углы поворотов; стрелками показаны параллельные переносы. Если в каждом случае применить к фигуре Ф всевозможные композиции перемещении f₁ и f₂ (в любом порядке и количестве), то получится 15 орнаментов. Это будут орнаменты разных типов, их группы симметрии устроены по-разному (имеют разные сетки осей симметрии или разные наборы порядков центров симметрии - разные «скелеты», или же разные множества. Самое замечательное, однако, в том, что если добавить к этим орнаментам еще два, изображенные на рис. 9, то получится полный «атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов, или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Виды  орнаментов. Как создают  орнаменты.

    По  характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (его еще называют бордюром), сетчатым и розеточным.

    Рассмотрим  ленточные орнаменты - бордюры. Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами и п (где п - целое число), при которых эта фигура переходит в себя, но не переходит в себя при параллельных переносах иного вида. Вектор  называют направляющим для бордюра.

    Простейший  бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор влево  и вправо вдоль полосы. Такая «первоначальная  фигура» называется фундаментальной областью бордюра. Бордюры встречаются в разных местах: в настенных росписях, на лестничных переходах. Их можно увидеть в чугунном литье, которое используется в оградах парков, решетках мостов и набережных.

    Доказано, что существует семь классов симметрии бордюров. Рассмотрим их.

    Первый - бордюры, которые не имеют иных симметрии, кроме параллельных переносов (рис. 10, а).

    Второй  бордюры, у которых фундаментальная  область обладает центром симметрии О (рис. 10, б).

    Третий  и четвертый - бордюры, у которых  фундаментальная область имеет ось симметрии, параллельную вектору а (рис. 10, в) или перпендикулярную вектору а (рис. 10, г).

    Пятый - бордюры, у которых фундаментальная  область имеет одну ось симметрии, перпендикулярную вектору а, а другую - параллельную вектору а (рис. 10, д).

    Шестой  и седьмой - бордюры, имеющие такие  оси симметрии, которых нет у фундаментальных областей. Например, фундаментальная область на рис. 10 имеет кроме тождественного преобразования еще одну симметрию, центральную относительно точки О. Но если бесконечно много раз последовательно переносить эту фигуру на вектор а, то получим бордюр с бесконечно большим числом осей симметрии, перпендикулярных вектору а.

    Фундаментальная область на рис. 10 имеет осевую симметрию. Перенесем эту область на вектор а, а потом выполним симметрию относительно оси. Получим узор, имеющий центр симметрии. Повторяя эту операцию п раз, построим бордюр, имеющий п центральных симметрии. На рис. 10 центры симметрии бордюра выделены светлыми точками.

    Помимо  бордюров художникам-орнаменталистам  известен и другой вид орнамента - сетчатый. Он заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Для построения такого орнамента выделяют плоскую решетку, в которой одинаковые части повторяются в определенной геометрической последовательности. Различают пять типов плоских решеток, каждая из которых определяется двумя векторами а и б и углом α между ними. На рис. 11 показаны разные виды решеток: а) квадратная (а = б, а = 90°), в) прямоугольная (а ≠ б, а = 90°), в) гексальная (а = б, а =60°), д) ромбическая (а = б, а≠ 90°, а ≠ 60°), г) косая (а ≠ б,

    а ≠90°).

    Вид орнамента определяется не только структурой его решетки, но и числом элементов его симметрии. Зная геометрические закономерности, можно и самим сконструировать интересный орнамент или определить те геометрические преобразования, которые положены в его основу. На рис. 12 показан прямоугольник ABCD, который может служить ячейкой орнамента. Тогда каждую сторону прямоугольника и одну из его средних линий - MN - будем использовать как ось симметрии. (На рис. 12 выполнена осевая симметрия относительно только оси СВ.) Таким образом, орнамент, построение которого начато на рис. 12, будет содержать пять осей симметрии.

    Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент. Возьмем, например, квадратную ячейку орнамента на рис. 13, а. Ясно, что каждая прямая, проходящая через сторону квадрата, а также прямая A/.V в ячейке ABCD может стать осью симметрии орнамента. Кроме того, укажем девять точек (А, В, С, D, М, О, N, L, К), вокруг которых можно повернуть ячейку, чтобы образовать новую ячейку или совместить старую ячейку саму с собой. Вокруг указанных точек можно сделать в одном направлении только два желаемых поворота - на угол в 180° и на угол в 360°. Поэтому точки А, В, С, D, М, О, N, L называются центрами поворота осей второго порядка (порядок оси определяется числом поворотов, обеспечивающих совмещение элементов орнамента). Сами оси упомянутых поворотов проходят перпендикулярно плоскости орнамента, поэтому на рис. 13, а они не видны. Но две из них специально показаны на пространственном чертеже (рис. 13, б). Например, если повернуть ячейку ABCD вокруг точки С на 180°, то получим ячейку ABCD. Но если ту же ячейку повернуть на 180° вокруг точки К, то получим ячейку В B'DC. При поворотах на 360° вокруг точек С, К и других квадрат ABCD совмещается сам с собой.

    Помимо  описанных видов орнамента в  произведениях искусства встречается еще один. Такой орнамент замкнут и ограничен определенной геометрической формой (квадратом, ромбом, треугольником, кругом и др.). Орнамент, вписанный в круг или в правильный многоугольник, называется розеткой. 
 
 
 
 
 
 

Глава ІІ. Паркет из правильных многоугольников. 

    2.1. Паркет как вид  орнамента

    В строительном деле паркет - это настил пола из твердых пород дерева, обработанного  в виде тонких дощечек разных форм. Наличие паркета в жилище обеспечивает его гигиену, малую теплопроводность и хорошую звукоизоляцию. Паркет это не только удобство, но и красота помещения, поскольку он своеобразный орнамент. Над созданием все новых и новых паркетов-орнаментов трудились многие поколения мастеров.

    В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом. Паркет называется правильным, если все многоугольники разбиения правильные (возможно, с различным числом сторон) и любую вершину паркета можно перевести в любую другую его вершину некоторым перемещением, отображающим весь паркет на себя. Изображенные на рис. 14 разбиения А) и Б) вообще не являются паркетом в определенном выше смысле; разбиения В) и Г) - паркет, но неправильный, и, наконец, разбиения Д) и Е) являются правильным паркетом. 
 
 
 
 
 
 
 

    2.2. Задача о «замощении»  плоскости

    В математике паркетом называют «замощение»  плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.

    Еще пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника (рис. 14). Поскольку это утверждение  касается каждой точки плоскости» процесс «замощения» плоскости, начатый от точки О, может быть продолжен от точки О₁ и т. д. Таким образом, получается, что простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.

    Более сложный паркет-орнамент можно сконструировать, если построить на сторонах квадрата правильные треугольники, а на сторонах этих треугольников, не примыкающих  к исходному квадрату, - опять те же самые квадраты.

    Такая конструкция, содержащая только квадраты и равносторонние треугольники, способна заполнить всю плоскость (рис. 15).

    Мозаика поливных плиток на сооружениях мемориального  ансамбля Шах-и-Зинда в Самарканде дает пример построения орнаментов, в  которых используются квадратные решетки. Рассмотрим орнамент, в котором элементарной ячейкой является часть неправильного  шестиугольника (рис. 17). Приняв сторону квадратной ячейки за единицу, подсчитаем стороны шестиугольника SJHPNM. Очевидно, что JH = NM = 2, тогда JS = HP = PN = = . Такое соотношение сторон дает возможность вписать в неправильный выпуклый шестиугольник звездчатый шестиугольник со сторонами, равными 1 и /2.

    В восточных орнаментах встречаются  правильные восьмиугольники и квадраты. Заметим, что заполнение плоскости паркетом, составленным из правильных восьмиугольников и квадратов, возможно только так, как показано на рис. 17, 18, 19. 

    Заключение.

    Решение задач, связанных с архитектурными орнаментами Средней Азии, убеждает в том, что геометрия занимала важное место в практической деятельности древних зодчих и мастеров орнаменталистов. Они хорошо владели построениями, измерениями и геометрическими доказательствами. В средние века на мусульманском Востоке было распространено мнение, что геометрия очищает и совершенствует человеческий ум. Не может совершить ошибку человек, постоянно занимающийся геометрией. Эта мысль прививалась с самого раннего детства. Перекидывая мост к греческой античности, восточные мыслители твердили слова, приписываемые Платону: «Тот, кто не знает геометрии, не может входить в наш дом».

     Вывод: Начав работу с описания архитектурных орнаментов, мы погрузились в мир геометрических построений, познакомились более подробно со способами геометрических преобразований и увидели, как геометрия служит созданию красоты и удобства, то есть того, что объединяют одним словом - гармония. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Библиография. 

1. Азевич, А. И. 20 уроков гармонии. М., 1998 (Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 7.
2. . Александров, С. Измельчающиеся узоры. Квант.-1980.-№4.
3.   Земляков, А. Орнаменты. Квант. - 1977. № 3.
4.   Михайлов, О. Одиннадцать правильных паркетов [Текст] / О. Михайлов . Квант. - 1979. - № 2, с. 9-14.
5. Таболников С. Вариации на тему. Квант. 1990.-№12.
6. Фёдоров Е. С. Симметрия на плоскости. СПб., 1981.
7. Цукарь, А. Бордюры. 1998. № 13.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Приложение. 

   а) Древнеегипетский орнамент  
 
 
 
 

    б, в) два мавританских орнамента 
 
 
 
 
 
 
 

  г) китайская оконная решетка