Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания  и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются  определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в  окружающем мире и могут иметь  самую различную природу. Это  могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний.

Свободными, или собственными колебаниями, называются колебания, которые  происходят в системе предоставленной  самой себе, после того как она  была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити.

Особую роль в колебательных  процессах имеет простейший вид  колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями  называются такие колебания, при  которых колеблющаяся

Промежуток времени T, через  который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний  получит приращение равное 2π, состояние  системы, совершающей гармонические  колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических  колебаний равен: T = 2π/.

 Число колебаний в  единицу времени называется частотой  колебаний ν.

Частота гармонических колебаний  равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.

 Круговая частота  = 2π/T = 2πν дает число колебаний  за 2π секунд. Графически гармонические  колебания можно изображать в  виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б) (рис.1.1.Б) Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:

  Таким образом, длина  вектора равна амплитуде гармонического  колебания, направление вектора  в начальный момент образует  с осью x угол равный начальной  фазе колебаний φ, а изменение  угла направления от времени  равно фазе гармонических колебаний.  Время, за которое вектор амплитуды  делает один полный оборот, равно  периоду Т гармонических колебаний.  Число оборотов вектора в секунду  равно частоте колебаний ν.

   Сложение гармонических  колебаний

Если колебательная система  одновременно участвует в двух (или  более) независимых колебательных  движениях, возникает задача - найти  результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под  этим понимается нахождение уравнения  результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего  колебания.

Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

Задача сложения нескольких колебаний может возникнуть, например, в оптике, где световые колебания (колебания вектора напряженности  электрического поля) в некоторой  точке определяются как результат  наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Под сложением колебаний  понимают нахождение результирующих колебаний  системы в тех случаях, когда  эта система одновременно участвует  в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая:

·       сложение колебаний одинакового направления;

·       сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим первый случай – сложение двух гармонических колебаний  одинакового направления и частоты. Для сложения колебаний удобно применять  метод векторных диаграмм. Суть этого  метода в том, что гармоническое  колебание представляется при помощи вектора, длина которого равна амплитуде  колебания, а направление вектора  образует с осью OX угол, равный фазе колебания. Амплитуда и начальная  фаза результирующего колебания  определяются при помощи векторного сложения. Допустим, что требуется  сложить два гармонических колебания:

Повторные независимые испытания.

Схема и формула Бернулли

Определение повторных независимых  испытаний. Формулы Бернулли для  вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы  для формулы Бернулли (локальная  и интегральная, теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона, для маловероятных  случайных событий.

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно  представить в виде многократно  повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться  или не появиться событие . При  этом интерес представляет исход  не каждого "отдельного испытания, а  общее количество появлений события  в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно  уметь определять вероятность любого числа  появлений события  в  результате  испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления  события  в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых  испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях  процент брака одинаков, то вероятность  того, что отобранное изделие будет  бракованным, в каждом случае является постоянным число