Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задание 1.2 Найти  частные производные  :

Решение

_{Функция задана в неявном виде. Пусть . Найдём производные:}

_{, ,}

_{Тогда по формуле:}

 

Задание 1.3 Найти  частные производные и частные  дифференциалы следующих функций.

Решение

Найдём частные производные

_,

Найдём частные дифференциалы

_,

Задание 1.4 Найти  частные производные второго  порядка:

Решение

Найдём частные  производные

, ,

,

 

Задание 1.5 Вычислить  значение полного дифференциала  функции  в точке при заданных и :

Решение

По формуле 

Найдём  ,

Тогда

Ответ:

 

Задание 1.6 Вычислить приближенно  с помощью полного дифференциала:

Решение

Вычислим приближенно  значение , исходя из значения функции при

Из данного  выражения определим  , .

Найдём значение функции

Находим частные  производные

Полный дифференциал функции z равен

Ответ:

 

Задание 1.7 Исследовать  функции нескольких переменных на экстремум:

Решение

Найдем частные  производные и составим систему уравнений:

.

Находим стационарную точку  . Выясним характер этой точки согласно достаточным условиям экстремума. Для этого находим частные производные второго порядка: .

В стационарной точке найдем значение .

Для точки  :

Следовательно, экстремума в т. нет.