Функці и графики

                    ФУНКЦИЇ ТА ГРАФІКИ

                     ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ    

ВИЗНАЧЕННЯ  ФУНКЦІЇ. Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. , де х – незалежна змінна – аргумент, у – залежна змінна – функція. Значення y, відповідає заданому значенню х, називають значенням функції.

   Записують: у = f(X) (ЧИТАЄТЬСЯ: « ЕФ ВІД ІКС»).БУКВОЮ  f позначається данна функція, тобто функційна залежність змінної y та x; f(x) є значення функції, відповідне значенню аргумента  x. Говорять також, що f(x) є значення функції в точці x. Всі значення , які приймає незалежна змінна х , образують область визначення функції D(f).

      Всі значення, які приймає функція  f(x)(при x належних області її визначення), образують область значення функції.

       Розглянемо функцію y=x²,де 1<=x <=3.Цей запис означає,що задана слідуюча функція: кожному числу х із відрізка (1;3) ставиться у відповідність квадрат цього числа. Наприклад,f(1)=1²=1, f(2)=2²=4, f(2.3)=2.3²=5.29 і т.д. Запис f(4) в цьому випадку залишена змісту, так як число 4 не належить відрізку (1.3). Відрізок (1.3)- область визначення функції.

    Наприклад: 1.площу круга можна визначити за формулою Q = , де r – радіус круга. Маємо функцію Q( r ) = , де  r – аргумент, Q – функція ( , х- аргумент, - функція).2.Суму внутрішніх кутів многокутника можна знайти за формулою , де n – число сторін многокутника. Дану формулу можна розглядати як функціональну залежність, де S  - функція від n, n – аргумент ( , х – аргумент,  - функція).

Наприклад:

1. область визначення функції - це проміжок ;
2. область визначення функції - це об’єднання проміжків і , оскільки  

3) функція  не визначена ні при яких значеннях х, оскільки     система нерівностей розв’язків не має.

4) область визначення функції вся координатна пряма, .

Таблиця 1.    Область визначення функції

Множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х з області визначення функції, називається областю значень Е(f), або областю зміни функції.

Наприклад:

1. щоб знайти множину значень функції , виразимо х через у: , отже, , або ;
2. знайдемо множину значень функції . Виразимо змінну х через у: ; ; . Отже .

                    
 
 
 
 

Числовою  функцією з областю визначення х називається залежність, при якій кожному числовому значенню х з множини Х поставлено у відповідність єдине число у.

Приклади  числових функцій:

- лінійна функція,  - обернена пропорційність тощо.

Способи задання функцій.

1) за допомогою  формули:   а)               б)

2) за допомогою таблиці:  

             ТАБЛИЧНЕ  ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ

    На практиці часто використовують  табличний спосіб задання функції. При цьому способі приводиться таблиця, яка вказує значення функції для маючих в таблиці значень аргумента. Прикладами табличного задання функції являється таблиця квадратів, таблиця кубів та таблиця квадратних коренів.

    В багатьох випадках табличне  задання функції є зручним у використанні. Воно дозволяє знайти значення функції для значення аргумента, маючих в таблиці, без яких-небудь вираховувань. На практиці часто залежність одної величини від іншої знаходять досвідченим шляхом. В цьому випадку одній величині  надають певного значення, а потім з досвіду для кожного з таких значень знаходять значення (звичайно наближене) другої величини. Таким чином досвід дозволяє скласти деяку таблицю значень функції. Існує методи, дозволяючи по такій таблиці підбирати формули, задаючи функції( з певною точністю). 

ЧИСЛОВА ПЛОСКІСТЬ. КООРДИНАТНА  ПЛОСКІСТЬ, ОСІ КООРДИНАТ.

     Множена усіх пар дійсних чисел  називається числовою плоскістю.

Як для множин всіх дійсних чисел (або числової прямої) є геометрична модель –  координатна пряма, так і для  множини усіх пар дійсних чисел ( числової плоскості)- є геометрична  модель координатна плоскість. Координатна плоскість х у визначається двома взаємно перпендикулярними координатними прямими з загальним початком 0  і однаковим маштабом. Точка 0 називається початком координат. Горизонтальна пряма називається віссю абсцису або віссю х, вертикальна – віссю ординат або віссю у.

   Якщо позначити на координатній плоскості всі точки з абсцисою х=а, то вийде пряма, паралельна осі у (рис.7); говорять, що х=а - приклад цієї прямої. Якщо позначити на  координатній площині всі точки з ординатою у=b, то вийде пряма, паралельна осі х (рис. 7);  говорять. Що у=b – приклад цієї прямої.

3. за допомогою графіка (рис.1)
4. описанням: „ Кожному натуральному числу поставлено у відповідність його куб”

аналітичне задання:                                      ГРАФІК ФУНКЦІЇ , ЗАДАНОЇ  АНАЛІТИЧНО.

   Хай функція  задана аналітичною формулою  y= f(x). Якщо координатної плоскості позначити всі точки, обладаючі слідуючими властивостями: абсциса точки належить області визначення функції, а ордината рівна відповідаю чому значенню функції, то множина точок (х; f(х)) є графік функції.

    Наприклад,  графіком функції у=х являється множена точок виду (х; х), тобто точок, маючих однакові координати. Ця множена точок є бісектриса 1 і 3 координатних кутів (рис. 8).

    На практиці  для побудови  графіка функції   складають таблицю  значень  функції при деяких значеннях  аргументу, наносять на площину  відповідні точки і з’єднують  отримані точки ліній. При цьому  гадають, що графік функції  являється плавною лінією , а знайдені  точки достатньо точно показують  хід змін функцій.

Якщо для  будь-яких двох значень аргументу  більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, то таку функцію називають зростаючою.

Наприклад: . Нехай х₁ та х₂ області визначення і , тоді

,            Оскільки , то х₂-х₁ – величина додатна і 2(х₂-х₁) 0. отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. -зростаюча на області визначення.

Якщо для  будь-яких двох значень аргументу  більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, то таку функцію називають спадною.

Наприклад:

1) Нехай х₁ та х₂ області визначення і , тоді

               Оскільки , то   і різниця х₁-х₂<0. отже, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. ) спадна на області визначення.

Функція називається парною, якщо для будь-якого х з області визначення (-х) також належить області визначення і виконується рівність . Графік парної функції симетричний відносно осі у (ординат).

Наприклад: Переконаємося, що ця функція парна.

. Функція парна.

Функція називається непарною, якщо для будь-якого значення х з області визначення (-х) також належить області визначення і виконується рівність . Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Наприклад: . Переконаємося, що ця функція парна.

 Функція непарна.

Також існують  функції, які  не належать ні до парних ні до непарних. Наприклад, функція  , .