Факты, полученные Л.С. Выготским и Л.С. Сахаровым, согласуются с данными швейцарского ученого Ж. Пиаже [151], считавшего, что при формировании представлений и понятий необходимо учитывать возрастные особенности ребенка. Индивидуальный разброс в умственных показателях детей зависит от ряда условий, к числу которых относятся следующие: условия жизни, природные задатки, качество преподавания, личности учителей и родителей.

      Л.С. Выготский полагал, что в развитии житейских и научных понятий  имеется много общего, но основное внимание он обратил на рассмотрение существенных различий этого процесса. Главным из них можно считать его направленность. Житейские или спонтанно возникающие в жизни ребенка понятия зарождаются при его столкновении с реальными вещами, содержание которых объясняется ему взрослыми, и лишь постепенно ребенок оказывается способным дать словесно-логическое объяснение тех отношений, благодаря которым существует данное понятие. Спонтанное понятие формируется у ребенка, можно сказать, «снизу вверх». Научное понятие начинается с его словесного общего определения, которое лишь затем связывается с опытом ребенка. Такое понятие формируется «сверху вниз». Однако, научные понятия становятся возможными у детей лишь тогда, когда развитие спонтанных понятий достигает известного уровня.

      Рассмотрим  другие точки зрения других авторов  на этапы формирования понятий.

      Так, М.Б. Волович предлагает осуществлять формирование математических понятий, используя теорию поэтапного формирования умственных действий:

      1 этап. Создание ориентировочной основы действий. Учащиеся записывают определения в краткой схематичной форме;

      2 этап. Организация пошагового контроля. Распознавание объектов, принадлежащих  объему понятия; фиксирование  всего хода распознавания; выведение следствий;

      3 этап. Самостоятельное распознавание объектов, принадлежащих объему понятия и выведение следствий; использование кратких записей.[36].

      В.А. Далингер выделяет следующие этапы  формирования математических понятий:

      1) рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия;

      2) введение термина, обозначающего  понятие;

      3) рассмотрение примеров, не входящих  в объем понятия;

      4) формулировка определения понятия;

      5) сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных  признаков понятия;

      6) систематизация знаний.[58].

      Этапы формирования математических понятий  по Г.С. Саранцеву:

      1) мотивация введения понятия;

      2) выделение существенных свойств  (признаков) понятия;

      3) усвоение логической структуры  определения;

      4) применение понятия;

      5) установление связей данного понятия с другими понятиями. [150]. СБ. Суворова рассматривает следующие этапы:

      1) подготовка к формализации; создание  наглядно-интуитивных представлений  об объектах, принадлежащих некоторому  классу;

      2) раскрытие содержания понятия,  создание представлений об объеме понятия, усвоение терминологии и символики;

      3) обучение применению понятия  в простейших, но достаточно характерных  случаях;

      4) включение понятия в систему  содержательных связей с другими понятиями.

      О.Б. Епишевой.[68]. выделены три этапа  формирования математических понятий: подготовительный, основной и этап закрепления.

      На  первом этапе используются методические приемы создания проблемной ситуации, в результате изучения которой происходит выявление, анализ и сравнение общих  и существенных признаков некоторых объектов:

      1) наблюдение, в результате которого  выделяются общие и существенные  признаки наблюдаемых объектов;

      2) опыт или практическая работа  исследовательского характера, накапливающая  данные для индуктивного умозаключения;

      3) отыскание ярких практических примеров, показывающих необходимость изучения нового понятия;

      4) моделирование (обозначения), когда  необходимые признаки отделяются  от предметов и фиксируются  с помощью схем, символов, слов;

      5) варьирование несущественных признаков  предметов или явлений при сохранении существенных признаков, что создает основу для их обобщения;6) обзоры изученного или исторические обзоры, показывающие корни нового в старом или аналогии нового со старым;

      7) решение задач, в ходе которого  появляется необходимость введения нового понятия (подводящие задачи).

      На  втором этапе проводится работа над  определением понятия. Для этого  используются методические приемы, помогающие учащимся усвоить определение:

      1) применение приемов определения,  в первую очередь приема определения через ближайший род и видовые отличия;

      2) формулировка определения, введения  термина и символа, обозначающих  понятие, их мотивировку;

      3) рассмотрение частных и общих  случаев, если они имеются;

      4) упражнения на применение приема  определения нового понятия (на выделение общих и существенных свойств понятия, на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними, на варьирование существенных и несущественных свойств понятия, на подведение под понятие, на приведение примеров и контрпримеров, на выведение следствий из определения, на доказательство равносильности разных определений одного понятия, на отыскание ошибок в определениях).

      На  третьем этапе используются следующие  методические приемы:

      1) включение нового понятия в  существующую классификацию или классификация данного понятия, упражнения на классификацию и систематизацию понятий;

      2) теоретические обобщения, устанавливающие  логические связи с другими  понятиями;

      3) составление "родословной"  понятия;

      4) упражнения на обобщение и  специализацию понятий, на "узнавание" понятий (на чертеже), на замену одного понятия другими;

      5) решение задач на применение  новых понятий;6) повторение на  последующих уроках определения  понятия.

      На  этапе "образования понятия" необходимо уделять большое внимание формированию у учащихся умений по работе с определениями. При этом обратить внимание школьников на логическую структуру определения и выделить существенные признаки, входящие в определение, характер их связи.

      Анализируя  причины устойчивых ошибок при усвоении математических понятий, В.А. Далингер[57] указывает, что они являются следствием:

      а) психологических факторов (ослабление внимания, памяти, мышления);

      б) несовершенства организации процесса обучения;

      в) недостатков программ, учебников по математике;

      г) несформированность у учащихся на нужном уровне семантики и синтаксиса математического языка.

      Формирование  у обучаемых обобщенных абстрактных  образов, отражающих различные классы математических объектов, к сожалению, на практике решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы. Н.Ф. Талызина отмечает, что " правильно воспроизводя определение понятий, т.е. осознавая их содержание, учащиеся не умеют пользоваться ими при ориентировке в предметной действительности, при решении задач на применение этих понятий".[167, с. 13] Качество же усвоения понятия определяется тем, что может делать ученик с этим понятием.[там же, с. 16] Таким образом, критерием знания служит действие, его ценность. Понятие неразрывно связано с действиями, как в процессе своего становления, так и в процессе функционирования. Заметим, что процесс усвоения идет как процесс решения задач. "Действие нельзя усвоить, не выполняя его, а выполнение действия предполагает адекватную ему задачу. Таким образом, процесс усвоения постоянно носит проблемный характер. Выполняемые действия с признаками понятий и служат инструментом построения понятий, его порождения. Понятие -продукт собственных действий учащихся." [там же] Второе важное замечание касается того, что математические понятия (как и любые другие) не могут быть усвоены без усвоения целой системы мыслительных действий, начальных логических знаний и умений.

      Таким образом, обобщая и систематизируя исследования психологов и методистов по проблеме формирования математических понятий, мы приходим выводу:

      1) Существуют различные подходы  к определению понятия в философии, логике, психологии, педагогике;

      2) Под понятием мы будем понимать  форму мышления, отражающую и  фиксирующую существенные признаки  вещей и явлений окружающей  действительности;

      3) Под процессом формирования понятия мы будем понимать деятельность учащихся, направленную на усвоение и применение понятия, осуществляемую под руководством учителя;

      4) В психолого-педагогической литературе  описаны различные способы формирования  понятия, но нет универсального. Способ формирования понятия будем определять в зависимости от содержания понятия, общего развития учащихся, их предшествующего опыта и объема знаний;

      5) Понятие может быть полноценно  усвоено тогда, когда оно применяется  на собственном опыте и не дается учащимся как "готовое знание

      6) В процессе формирования математических  понятий мы будем выделять  следующие этапы:

      а) мотивация введения понятия;

      б) создание проблемной ситуации (выявление, анализ и сравнение

      общих и существенных признаков объектов);

      в) усвоение логической структуры определения;

      г) применение понятия;

      д) установление связей данного понятия  с другими понятиями;

      е) применение понятия в решении  творческих задач.

 

      

Глава 2. Опытно-экспериментальная  работа по формированию понятия числа на уроках математики

      2.1. Методические особенности  формирования понятия  числа в начальном   курсе математики

 

 

      2.2. Исследование исходного  уровня сформированности  понятия числа  у учащихся начальной  школы 

      2.3. Методические  рекомендации по формированию понятия числа у учащихся начальной школы

 

      Любые математические понятия должны выглядеть  в глазах учащихся убедительными  и необходимыми. Для этого полезно  руководствоваться следующими методическими  принципами, предлагаемые Ю.М.Колягиным, Г.Л. Луканкиным:

      1. При введении нового понятия по возможности опираться только на известные учащимся понятия.2. По возможности включать новые понятия в систему уже известных понятий.3. При введении новых понятий по возможности опираться на конкретные модели, связанные с реальной действительностью.4. Мотивировать не только введение самих понятий, но и целесообразность соответствующих определений.5. По возможности соблюдать строгость и систематичность изложения, не допускать математически некорректных толкований, четко отличать мотивировку или иллюстрацию от доказательства, причем это требование должно относиться в равной мере, как учителю, так и к учащимся [88,с 10]. В широком смысле абстракция означает возможность рассматривать предметы и процессы с какой-либо одной точки зрения, отвлекаясь от других сторон.