Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Февраля 2012 в 17:09, курсовая работа
Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.
Отже, D=K1ÇI –ідеал кільця K1.
Доведено.
№2
Чи є ідеалом (лівим або правим) така підмножина
Розв’язання
Перевіримо чи буде множина S лівим ідеалом
Перевіримо множення з ліва
Отже, дана підмножина лівим ідеалом кільця M (2, Z).
Перевіримо чи буде правим ідеалом
Отже правим ідеалом буде.
Відповідь: є правим ідеалом.
3. Факторіальні кільця
3.1 Кільця головних ідеалів та евклідові кільця
3.1.1 Подільність в області цілісності
В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Ці кільця дістали назву кілець головних ідеалів. Вивченням їх ми і будемо займатись. Але спочатку викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.
Нехай R – область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:
Означення 1. Якщо для елементів а і b області цілісності R в R існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно аM b; b/а або а == 0 (mod b).
Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.
З означення 1 випливають такі властивості подільності в області цілісності:
1. "(a, b, cÎR) [aM bÙbM cÞaM c].
2. "(a, b, cÎR) [aM cÙbM cÞ(a+b)M c Ù(a-b)M c].
3. "(a, b, cÎR) [aM b Þ acM b].
4. "(a1, b1, a2, b2,…, an, bn, cÎ R) [a1 M cÙa2 M c Ù… ÙanM c Þ (a1b1 +a2 b2 + … + +an bn) M c].
Ці властивості, як легко бачити, є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.
5. Кожен елемент аÎ R ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε-1а) і, отже, ε/а.
6. Якщо а Î R ділиться на bÎ R, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.
Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == bε (ε-1с) і, отже, bε/а.
7. Кожен з дільників одного з елементів а ÎR і aεÎ R де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.
Справді, з рівності а = сg випливає рівність aε == с (εg), а з рівності аε = сq – рівність а == с (ε-1q). Отже, якщо с/а, то с/аε, і навпаки.
Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R, відмінні від нуля.
Означення 2. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:
а = bс, b= аd. (1)
З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε-1.
Означення 2'. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо b= аε, де ε – деякий дільник одиниці.
В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і – т.
Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) Í (b) і (b) Í (а) і, отже, (а) = (b).
Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.
Нехай а і b – довільні елементи області цілісності R.
Означення 3. Елемент сÎR називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.
Означення 4. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.
Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).
Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ε – будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ε, що є дільником одиниці.
Означення 5. Елементи а, bÎR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.
Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R. Тоді а = аε• ε-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними – числа ±2, ±5.
Означення 6. Елемент аÎR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аÎR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.
Інакше кажучи, елемент аÎR називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший – асоційований з а. Так, у кільці цілих чисел Z нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1, – розкладні.
Наведемо такі дві властивості нерозкладних елементів.
1. Якщо елемент рÎR нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент рε також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R.
2. Якщо а – будь-який, а р – нерозкладний елемент з R, то або а ділиться на р, або а і р – взаємно прості.
Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ε одиниці, або елемент вигляду рε. У першому випадку а і р взаємно прості, в другому – а ділиться на р.