Четвертая проблема Гильберта

Четвертая проблема Гильберта

В докладе «Математические  проблемы», сделанном на II Международном  Конгрессе

математиков, происходившем  в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, Давид  Гильберт

(1862-1943) сформулировал  свои знаменитые 23 математические  проблемы, которые в

значительной  степени определили развитие математики 20-го века. Этот доклад,

охватывающий проблемы математики в целом и является уникальным явлением в истории математики.

4-ая проблема  Гильберта названа им «ПРОБЛЕМОЙ  О ПРЯМОЙ КАК

КРАТЧАЙШЕМ СОЕДИНЕНИИ ДВУХ ТОЧЕК». 4-я проблема Гильберта относится к разряду фундаментальных проблем

геометрии. В  ее формулировке, полученной из оригинала, суть проблемы состоит в

нахождении геометрий, чьи аксиомы наиболее близки к  Евклидовой геометрии, если при

этом сохраняются аксиомы порядка и инцидентности, аксиома конгруэнтности

ослаблена, и  аксиома о параллельных опущена».

Отметим, что  у самого Гильберта в его докладе  априори (или даже явно)

предполагается  возможность замены аксиомы Евклида о параллельных (ибо она опущена)

другими аксиомами. Поэтому Гильберт в качестве геометрий, наиболее близких к

евклидовой геометрии, называет геометрию Лобачевского (гиперболическую  геометрию)

и геометрию  Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Гильберт

формулирует так: «Более общий вопрос, возникающий  при этом, заключается в

следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить

геометрии, которые  с таким же правом могли бы считаться  ближайшими к

обыкновенной  евклидовой геометрии».

В математической литературе 4-я проблема Гильберта  иногда считается

сформулированной  в весьма расплывчатой форме, что  затрудняет ее окончательное

решение. Как  подчеркивается в [3], «оригинальная  формулировка 4-й проблемы Гильберта

является весьма расплывчатой для получения определенного  ответа». В работе [4]

американский  геометр Герберт Буземан проанализировал весь комплекс вопросов,

связанных с 4-й проблемой Гильберта, и также пришел к заключению, что эти вопросы

являются излишне  широкими. В этой связи следует  отметить также книгу [5],

посвященную частному решению 4-й проблемы Гильберта.

Несмотря на критическое отношение математиков  к 4-й проблеме Гильберта,

необходимо подчеркнуть  ее чрезвычайную важность для развития математики, в

частности, геометрии. Без всякого сомнения, интуиция Гильберта  привела его к выводу,

что геометрии  Лобачевского, Римана и другие неевклидовые геометрии не исчерпывают

все возможные  варианты возможных неевклидовых геометрий. 4-я проблема Гильберта

нацеливает исследователей на поиск новых неевклидовых геометрий, которые являются

ближайшими геометриями  к обыкновенной евклидовой геометрии. 

«Так проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль

одновременно  в основаниях геометрии, в теории кривых на поверхностях, в механике и в

вариационном  исчислении....

Более общий  вопрос, возникающий при этом заключается  в следующем: возможно ли ещё с

других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли  бы

считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии...»

Под ближайшими к евклидовой геометрии Гильберт указал геометрию Лобачевского

(гиперболической  геометрии), геометрию Римана (эллиптическую  геометрию), неархимедовы

геометрии и  геометрию Минковского.

Необходимо отметить, что решением этой проблемы занимались многие математики. История

вопроса о научных  результатах, относящихся к 4-ой проблеме Гильберта на русском языке

подробно изложена как в самом докладе Гильберта, так и в комментариях к этому докладу,

сделанных И.М. Ягломом«К четвёртой проблеме Гильберта» в сборнике «Проблемы Гильберта»

(под редакцией  П.С.Александрова),Москва:Наука,1969, 240 с. (эта книга в дальнейшем была также

переиздана), а также в статье американского геометра Г. Буземана «О четвёртой проблеме

Гильберта»,Успехи математических наук,1966, Т.21, вып.1,(127) с.155-164.

В частности, Г.Буземан считает, что «даже постановка четвёртой проблемы Гильберта

является неоправданно широкой, достаточный простор остаётся здесь ещё и при наложении  на

рассматриваемую геометрию тех или иных дополнительных условий». В то же время, как отмечает

Г.Буземан, «Гильберт рассматривает анализ понятия расстояния как часть проблемы»

Первым вкладом  в решение этой проблемы является диссертация немецкого математика

Гамеля, защищённая в 1901 г. под руководством Гильберта (на русском языке результаты Гамеля и

комментарии к  нему читатель может найти в вышеуказанных  статьях Г.Буземана и И.М. Яглома).

Как указано  в этих статьях, «работа Гамеля, разумеется не исчерпала всего, что можно сказать о

четвёртой проблеме Гильберта, другие подходы к которой  неоднакратно предлагались и позже».

Остановимся более  подробно на важном вкладе в решение  этой проблемы, сделанным

выдающимся советским  математиком А.В. Погореловым, автором  книги «Четвертая проблема

Гильберта», Москва:Наука, 1974, 80 с.

По мнению американского  геометра Г. Буземана, «А.В. Погорелов получил исключительно

изящный результат, позволяющий находить все такие  двумерные пространства с симметричной

метрикой посредством  некоторой единой конструкции, восходящей к интегральной геометрии».

Аннотация к  этой книге гласит следующее:

«Книга содержит решение известной проблемы Гильберта  об определении всех с точностью

до изоморфизма  реализаций систем аксиом классических геометрий (Евклида, Лобачевского,

эллиптической), если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятие угла, и

пополнить эти  системы аксиомой «неравенство треугольника».Книга рассчитана на студентов-

геометров старших  курсов, аспирантов и научных работников».

Почему же в  таком случае в упомянутой выше таблице  «Проблемы Гильберта» в Википедии

(сентябрь 2009 года) отсутствует указание на решение  этой проблемы А.В. Погореловым,  а также в

украинской газете «Техническая украинская газета» (Киев, март 2009 года) в специальной статье,

посвящённой 90-летию  А.В.. Погорелова, относительно 4-ой проблемы Гильберта, решённой А.В.

Погореловым, сказано, что «она сформулирована слишком  расплывчато, чтобы понять, решена она

или нет».

С нашей точки  зрения, ответ на этот далеко не простой  вопрос состоит в следующем. Как

следует из книги  А.В. Погорелова «Четвёртая проблема Гильберта», у него подход к построению

геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана аксиоматический, как, впрочем, и у Eвклида,

Лобачевского  и Римана.

А именно, Погорелов  выполняет следующие операции.

4

1.Он берёт  для каждой из этих геометрий  соответствующую ранее этим геометриям известную

систему аксиом, удовлетворяющую условиям независимости, непротиворечивости и полноты, что

уже сделано  до него усилиями Евклида (геометрия  Евклида), Пуанкаре, Бельтрами, Лобачевского

(геометрия Лобачевского), Римана (геометрия Римана) и других  авторов. Реализация этих геометрий

с этим набором  аксиом уже давно была известна до Погорелова. Таких реализаций было известно

конечное число.

2.Среди этих  аксиом для каждой из этих  трёх геометрий встречаются две  аксиомы

конгруэнтности (в смысле равенства)

Аксиома конгруэнтности отрезков

Если два отрезка  конгруэнты (равны) третьему отрезку, то они конгруэнты между собой

Аксиома конгруэнтности углов

Если два угла конгруэнтны (равны) третьему, то они  конгруэнтны между собой.

3.Погорелов выбрасывает  аксиому конгуэнтности углов, заменяя её аксиомой неравенства

треугольника: «длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его

других сторон».

В случае такой  замены для каждой из этих геометрий  аксиома конгруэнтности углов

становится ТЕОРЕМОЙ, если реализовывать геометрии Евклида, Лобачевского или Римана. В

противном случае, система аксиом Погорелова не может удовлетворять трём условиям:

независимости, непротиворечивости и полноты.

После фактического доказательства этой теоремы, каким  бы изящным методом она не

получена, состоящей в реализации этих аксиом, автоматически восстанавливаются все прежние

системы аксиом для геометрий Eвклида, Лобачевского и Римана.

В этом, как нам  кажется, и состоит вклад Погорелова в четвёртую проблему Гильберта, и,

следовательно, то что он сделал, не есть полное решение четвёртой проблемы Гильберта.

4. Вот когда Н.И.Лобачевский вместо аксиомы Евклида (пятый постулат Евклида) (Аксиома

параллельных  прямых. «Через любую точку, лежащую  вне прямой, можно провести другую прямую,

параллельную  данной, и притом только одну» предложил  свою аксиому «Через точку, не лежащую

на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной

плоскости и  не пересекающие её», сохранив при этом все остальные аксиомы, то это  действительно

была революция  в геометрии.

В геометрии  Римана (эллиптическая геометрия) аксиома  о параллельных звучит так.«Каждая

прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома

противоречит  системе аксиом евклидовой геометрии , если не исключить аксиому о параллельных

Евклида..

5. Ведь вместо  аксиомы параллельных прямых мы могли бы использовать в качестве аксиомы

свойство углов  треугольника («сумма углов треугольника равна 180º для геометрии Евклида, меньше

180º для геометрии  Лобачевского и больше 180º для  геометрии Римана»). Но тогда необходимо

доказывать аксиому  о параллельных прямых в ситуации для Евклида, Лобачевского и Римана,

которая в этом случае становится ТЕОРЕМОЙ.

Эта теорема  доказывалась у нас в университете для студентов, когда нам читался  курс

«Основания геометрии». Но никто же никогда не говорил  тогда да и теперь, что это есть решение

четвёртой проблемы Гильберта.

6. Именно поэтому  в Википедии, последнее обновление  которой было 21 сентября 2009 года,

для четвёртой  проблемы Гильберта говорится, что  «она слишком расплывчатая» (чтобы  говорить о