Бином Ньютона. Теорема паскаля

20) Предел ф-ии при х→∞. при х →∞ (случаи когда х₀ есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀ , соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а

21) Второй замечательный предел. Следствия. ^x=e. Следствия:

1) ^x=e. 2) ^1/x=e. 3) =. 4) ^x-1)/x – 1. 5) ^x-1)/x = lna

22) Сравнение б.м.ф-ий. Применения для вычисления предела.

Пусть α(x) и β(x) — две функции, бесконечно малые в точке x=a. Если , то говорят, что α(x)  более высокого порядка малости, чем β(x) и обозначают α(x)=0(β(x)) . Если же , то β(x) более высокого порядка малости, чем α(x); обозначают β(x)=0(α(x)). Бесконечно малые функции α(x)и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают  α(x)=0(.  И, наконец, если   не существует, то бесконечно малые функции α(x) и  β(x) несравнимы.

Если , то бесконечно малые функции α(x) и β(x)  называются эквивалентными, обозначают α(x)~β(x).

23) Непрерывность  ф-ии. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке. Условия непрерывности:1)х₀∈D(f) 2)∃  3) ∀ε>0,∃δ>0:lx-x₀l<δ=>lf(x)-f(x₀)l<ε. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀ (очевидно, и в самой точке x₀)и если или,что то же самое Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

24. Непрерывность  сложной функции.

y=f(*(t)), φ(t = x.

Теорема.

1)Если ф-ия φ(t) непрер.в точке t₀

2)Ф-ия f(x) непрер.в т. x=x₀

Причем φ(t₀)=x₀.=> то y = f(φ(t))- непрер.в точке t=t₀

25) Арифм.оперции над непрерывными ф-ми. Теорема. Пусть ф-ии f(x) и g(x) определены в области Д  и непрерывны в точке х₀ пранадлежащей области Д, тогда в этой точке неррерывны f(x)±g(x), g(x)*f(x), f(x)/g(x) при условии что g(x₀)≠0.

26) Непрерывные  элементарные ф-ии.Пример. Ф-ии, которые получаются из осоновных, с помощью конечного числа арифметическимх операций, а так же конечного числа суперпозиции наз-ся элементарными функциями.

27) Предел показ-степенной ф-ии. Непрерывная ф-ия.

 y = f(x), x₀ Î D(f) Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x₀)

28. Односторонняя  непрерывность. Точки разрыва  и их классификация. Точка x=x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке. Точка x=x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции. Точка x=x₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.

Одностр.непрер. В определении непрер.ф-ии в точке x₀ требуется существование   и неравенство . С применением односторонних пределов определ.понятие непрерывности ф-ции в точке слева и справа: Ф-ия наз-ся непрер.в точке х0 слева, если: ∋f(x0-0)= f(x)=f(x0). Ф-ия f(x) наз-ся непрер.в рочке х0 справа, если: : ∋f(x0+0)= f(x)=f(x0)

29. Св-ва ф-ции непрерывной на отрезке а;б 1) Сохранение знака. 2)Первая и вторая теорема Больцмана-Коши. 3) Ограниченность ф-ции.1 и 2 теоремы Вейерштрасса. Теорема об обратной ф-ции.

Сохранения знака: Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)¹0 то $ окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.

Непрер.на отрезке.

Пусть теперь  [a;b] (замкнутый) отрезок в D(f) . Назовём функциюf(x)  непрерывной на отрезке[a;b] , если f  непрерывна на интервале (a;b) , непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b , то есть 1) ∀x₀∈(a;b)∋ 2) ∋ 3) .

 Теорема Вейерштрасса. Из любой огран.послед.можно выделить сходящиеся подпослед. 1) {x_n} безчисл.мн-во одинаковых  членов 2) {x_n} имеется безчисл.мн-во разл.членов. 1) хотя бы один из членов {x_n}повтор.безчисл.кол-во раз. x_n1=x_n2=…=x_nk-сход.послед.

30. Понятие равномерной  непрерывности.    Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого ? > 0 можно найти такое ? = ?(?) > 0, что |f (x1) — f (x2)|x1 и x2 из данного множества, удовлетворяющей условию |x1—x2|< ? (ср. Непрерывная функция). Например, функция f (x) = x2 равномерно непрерывна на отрезке , равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

31) Комплексные чи́сла[ — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению i2 = − 1.

Действия над  комплексными числами.

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d.

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i

32) Определение производной. Производной фкц. Y=f(x) называется предел отношении приращения фкц к приращению аргумента при условии что приращение аргумента стремится к 0, если этот предел существует.

33) Механически  и геометрически смысл производной y’. Пусть точка m движется не равномерно прямолинейно по некоторому пути и к моменту t+∆t проидет путь S+∆S ; Uср= ∆S/∆t. О1. Скоростью точки в мом времени t называется предел котор стремиться ср скорость за промежуток ∆t при условии что ∆t стремится к 0. (мгновенная скорость точки в момент времени Х).Геом смысл доказывает существование предельного значения (при ∆х→0) угла наклона секущей.

34) Основные элемент.ф-ии. Степенные функции: y = x^a,

где а – любое постоянное число. Областью определения считается  промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.1) Показательная функция: y = a^x, где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел. 2) Логарифмическая функция:  y = log_ax, где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0. 3) Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел. 4) Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx. Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.                                                                  35)Правило вычисления производных.1.[cf(x)]’=c*f’(x);2[f(x)±g(x)]’=f(x)±g(x);3 [f(x)*g(x)]’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x); 4. [f(x)/g(x)]’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x)/g²(x); 5.[f(g(x))]’=f’(g(x))*g’(x);6.[f^(-1)(x)]= 1/f’(f^9-1)(x)) .

 

36) Дифференцируемые ф-ии. Функция y=f(x) назыв дифференцируемой в данной точке х, если преращение ▲у этой фкц в точке х, соотв преращ аргумента ∆х, может быть представлено в виде ∆у=А∆х+α∆х, где А это некоторое число , независ от ∆х, а α – это фкц аргумента∆х, явл бескон малой при ∆х→0.  

37) Дифференциал. В случае А/0 диф-лом ф-ии у=F(x) в данной точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называют главную линейную относительно ∆х часть приращения этой ф-ии в точке х. в случае А=0 то слогаемое А∆х перестает быть главной частью приращения ∆у диференц ф-ии.

39) Производные  и диффернциалы высших порядков.

Произв.высш.пор.Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.

f’’(x)=[f’(x)]’;f’’’(x)=[f’’(x)] ; ... ,f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’.f⁽⁰⁾(x)=f(x) .

 Относительно этих  производных надо знать формулу  Лейбница:

[f(x)g(x)]ⁿ=^k_nf^(k)(x)g^(n-k)(x).

Дифф.высш.пор.

 Дифференциал от дифференциала  первого порядка называется дифференциалом  второго порядка. Дифференциал  от дифференциала второго порядка  называется дифференциалом третьего  порядка. Вообще, дифференциалом  n-го порядка  называется  дифференциал  от дифференциала n -1-го порядка. Имеют место следующие формулы: dⁿf(x)=fⁿ(x)*dxⁿ; fⁿ(x)=dⁿf(x)/dxⁿ.

40) Правило Лопиталя Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x₀ и и и ∃,то выполняется равенство

41. Формула Тейлора  и ее приложение. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ( (f’(x₀))/1! )(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x)  в точке х₀,

r_n(x) = ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х ® х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

                                 ^{Х®Хо                         Х®Хо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)  в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) » T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х ® х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1. (1+x)^a » 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xⁿ,
2. e^x » 1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,
3. ln(1+x) » x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n
4. sin x » x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,
5. cos x » 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.

42. Исследование  функции методом дифференциального  исчисления. 1)Производная сложения функции. Теорема. Формyла Лейбница. 2)Вывод производных

 Вычисление производных  и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f’(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f’’(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y,то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f’(x) называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f’(y), частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н.угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

Произв.сложн.ф-ии. Если функция  y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0) Теорема Лейбница. Если f  непрерывна на отрезке[a;b]  и Φ — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство: ^b_a Формулой Лейбница - в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцировния. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница. Y=f(x) пусть ∋f’(x) ф-ия от х. если f’(x) непрерывна, то f’’(x)=9f’(x))’. f’’-производная второго порядка.Пусть n любое натуральное число. Производной порядка n от ф-ии y=f(x) называется производной от производной (n-1)ого порядка y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]’, причем f⁽⁰⁾(x)=f(x). Замечание. Если ∋ f^(n-1)(x) на (a;b) то ∋ f^(n-1), ∋ f^(n-2), ∋ f⁰ и она непрер.на (a;b).

 

 

43. Т – ма Ролля о среднем значении.

] f(x) непрерывна на [a,b] и дифф. в (a,b),причём на концах принимает равные значения,тогда $ т. х₀Î(а,b) такая,что f’(x₀)=0.Д – во:По 2^й т – ме Вейерштрассе ф – ция f(x) достигает на [a,b]и наибольшее, и наименьшее значения.Если они достигаются на концах отрезка,то в силу равенства f(a)=f(b) будет f(x)=const=>f(й)=0.Рассм. случай,когда наим. либо наиб. знач достигается внутри отр.(для определённости – наиб.).] х₀ – та точка,в к – рой ф – ция принимает наиб. знач.Придадим аргументу х этой ф – ции приращение Δx,не вых. за пределы [a,b]. Очевидно Δу≤0.Т.к. ф – ция дифф. в т.х₀,то $ предел limΔ_x->0Δy/Δх=lim_Δx->0+0Δy/Δx= lim_Δx->0-0Δy/Δx=f’(x₀)=0*

 

 

 

44. Т – мы Лагранжа и Коши.Т – ма Лагранжа.] ф – ция непрерывна на [a,b]и дифф. в (а,b).Тогда $ точка х₀ в интервале (a,b)такая,что (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(x₀).Геометрически эта т – ма озн.,что на " гладкой дуге найдётся хотя бы одна точка,касательная к к – рой || хорде,стягивающей эту дугу. Т – ма Коши:] ф- ции f(x) и j(x) непрерывны на [a,b]и дифф. в (a,b),причём при всех хÎ(a,b) j’(x)≠0.Тогда $ т.х0Î(a,b) такая,что (f(b)-f(a))/(j(b)-j(a))=f’(x0)/j’(x0).                 При j(x)ºx переходит в т – му Лагранжа.Ясно,что j(b)-j(a)≠0,т.к. в противном случае по т – ме Ролля для j(х)$ бы точка х0Î(a,b),а это исключено.Д – во:рассм. F(x)=[f(b)-f(a)]·[j(x)-j(a)]-[j(b)-j(a)]· [f(x)-f(a)].F(x) непр. на [a,b]и дифф. в (a,b),F(a)=0 и F(b)=0,т.е. F(a)=F(b)=>ф – ция F(x) удовл. всем усл. т – мы Ролля, поэтому $т. x₀Î(a,b) такая,что F’(x₀)=0=>*

45. Правило Лопиталя для раскрытия неопр. вида[0/0](с выводом) и [¥/¥](без вывода). 1.] ф – ции f(x) и j(x) непрерывны в нек – рой проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->aj(x)=0(1).] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности j(х)≠0 и j’(x)≠0.]кроме того $ конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/j’(x),тогда $ и предел lim_x->af(x)/j(x) и оба этих предела равны.Д – во:]g(x)=[f(x),если х≠а; 0,если х=а];Θ(х)=[j(х),если х≠а;0,если х=а].]ξ – произв. точка из указанной проколотой окрестности.На отрезке с концами а и ξ ф – ции g(x) и " Θ(x) удовл. всем.усл. т – мы Коши.Поэтому $ точка η такая,что (g(ξ)-g(a))/ (Θ(ξ)-j(а))=g(η)/Θ(η),т.е. f(ξ)/j(ξ)=g(η)/Θ(η).При ξ->a будет и η->a;lim_ξ->af(ξ)/j(ξ)=lim_η->ag(η)/Θ(η).*2.] ф – ции f(x) и j(x) непрерывны в нек – рй проколотой окрестности т.а,причём lim_x->af(x)=lim_x->aj(x)=¥.] эти ф – ции дифф. в указанной окрестности,причём в этой проколотой окрестности j(х)≠0 и j’(х)≠0. ]кроме того $ конечный или беск. предел lim_x->af’(x)/j’(x),тогда $ и предел lim_x->af(x)/j(x) и оба этих предела равны.Замечание:оба правила Лопиталя справедливы,если усл. x->a заменить на x->a+0,x->a-0,x->+¥ или x->-¥.