Аналитический обзор математического моделирования процессов с использованием иерархического базиса

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 

Аналитический обзор математического моделирования процессов с использованием иерархического базиса 
 
 
 

Факультет: ПМИ

Группа: ПММ-61

Студент: Безматерных Д. А.

Преподаватель: Персова М. Г. 
 
 
 

Новосибирск, 2011г.

      Данная  работа посвящена краткому обзору аспектов математического моделирования  процессов с помощью разрывного метода Галеркина (в дальнейшем DG-метод ) с использованием иерархического базиса.

     Существуют  классы задач, для решения которых  стандартный МКЭ не подходит. К примеру, задачи с разрывными коэффициентами, задачи на неоднородных областях, задачи с резко меняющимися коэффициентами. В наше время разработаны различные подходы к разрешению подобных проблем. DG-метод применяется для решения подобных классов «проблемных» задач. В последние десять лет метод завоевывает все большую популярность, что приводит к расширению как класса прикладных задач, решаемых DG-методом, так и к дальнейшему развитию самого метода.

     Впервые вариационные постановки, связанные  с DG-методом, были опубликованы в статье [20]. Основная идея метода заключается в задании локального базиса на каждом конечном элементе и построении специальных операторов следа на границах конечного элемента. Полностью характеризуя один конечный элемент и его взаимодействия с соседними элементами, мы можем решать задачи на сколь угодно сложных областях, используя все возможности адаптивных несогласованных сеток и не увеличивая при этом вычислительных затрат. В зависимости от вида операторов следа можно получить вычислительную схему с определенными свойствами [1-2].

     К плюсам метода можно отнести:

- задание  базисов различных порядков на  различных конечных элементах;

- использование  несогласованных сеток;

- возможность гибкого применения p-h, h, p стратегий;

- независимый выбор порядка полиномиальных базисов, ассоциированных с каждым геометрическим конечным элементом.

      Такое преимущество DG-метода сопровождается значительным увеличением числа степеней свободы. Так при аппроксимации двумерной эллиптической задачи  линейными базисными функциями размерность дискретной системы линейных алгебраических уравнений по сравнению с непрерывным методом Галеркина (CG-метод) увеличивается в четыре раза [19].

      Постановка  задачи, а также примеры триангуляции расчетной области задачи, построения функциональных пространств, конструирование вариационных формулировок и специальных операторов следа подробно разобраны в источниках [1, 2, 6, 8-11, 13, 17].

     Актуальными  для DG-метода на данный момент можно считать следующие задачи:

     - задачи с движущимся фронтом ;

     - задачи с течениями в пористых  средах [14-15];

     - конвективно-диффузионные задачи  [6,7,12,16].

     Один  из подходов в борьбе с минусами DG-метода основан на определении численного решения в пространстве кусочно-полиномиальных функций не выше заданной степени, при этом слабая вариационная постановка выписывается для исходного дифференциального уравнения в соответствии с введенным в данном пространстве скалярным произведением. Развитие данного подхода подразумевает использование иерархического базиса.

     Работа  с конечными элементами подразумевает  корректировку предметной области  задачи с целью повышения точности вычислений, построение сетки разбиения с желаемым разрешением и вариации плотности этой сетки (некоторые конечные элементы измельчаются, некоторые наоборот – объединяются). Тут важную роль играет выбор базиса. Использование иерархического базиса позволяет обойти проблемы построения новых сеток или изменения их плотности. Суть подхода заключается в выборе и уточнении необходимых базисных функций.

      Рассмотрим  множество независимых скалярных  базисных функций . Пусть 

                                        (1) 

где x, , (n

      Для начала примем, что n=1 (размерность нашей сетки М) и базисные функции линейные. МКЭ требует, чтобы функции были заданы локально на каждом конечном элементе, ассоциированном с некоторым узлом i. К примеру, мы хотим измельчить нашу сетку М и получить новую М’. Тогда новые базисные функции для М’ будут ассоциированы с множеством Х’ таким что,  ХХ’.

      Теперь  пусть n > 0. Рассмотрим процедуру построения новой сетки М’, предложенную в [3], которая сводится к построению последовательности множеств ,   и т. д. , где 

 (2) 

и выполняется : 

(3) 

Это иерархическое  отношение позволяет использовать  следующую стратегию: на уровне j мы можем построить базисные функции , ассоциированные с , через базисные функции других порядков : 

,                                                 (4) 

где  есть коэффициент. Будем считать, что в (4) конечное число членов с ненулевыми коэффициентами. Пусть для p > j 

 (5) 

Будем говорить, что если принадлежит , то - родитель . Одна функция может иметь несколько родителей, и несколько преемников.

      Рассмотрим  простой случай, когда функции  на уровне j заменяются линейными комбинациями функций уровня p=j+1, как показано в (4). Тогда адаптированный базис для пространства Х будет : 
 
 

Базисное  множество В состоит из элементов двух множеств и . Такие выборочные элементы будем называть активными функциями, а множество активных функций, выбранных из конкретного базиса  будем обозначать как .Тогда (6) примет вид 

,                                                             (7) 

     Приведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай с несколькими функциями. Тогда базисом пространства Х  является: 

                                                              (8) 

Множество состоит из функций, активных на уровне j. Если таких функций на уровне нет, то множество пустое. Будем предполагать, что выбор обеспечивает линейную независимость функций.

      Рассмотрим  альтернативную конструкцию, предложенную в [4]. Вместо того, чтобы полностью заменять функции линейной комбинацией функций (j+1)ого уровня , мы объединим оба этих множества функций следующим образом: функции с будут исключены. Тогда адаптированный иерархический базис будет выглядеть : 
 
 

Отличие (9) от (6) лишь в том, какие функции выбираются активными на соседних уровнях.

      В дальнейшем планируется детальное  исследование преимуществ работы DG-метода на иерархическом базисе, что повлечет  сокращение временных и вычислительных затрат, а также потребует использования многоуровневых решателей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

[1] Email: memo@math.utwente.nl www.math.utwente.nl/publications    [Электронный ресурс] = A study on discontinuous Galerkin finite element methods for elliptic problems : Memorandum No. 1690 / J.J. Sudirham, J.J.W. van der Vegt. – Режим доступа: Email: memo@math.utwente.nl.

[2]  The Compact Discontinuous Galerkin (CDG) Method for Elliptic Problems / J. Peraire, P.-O. Persson. – Department of Aeronautics and Astronautics, MIT, 77 Massachusetts Avenue 37-451, Cambridge, MA 02139 (peraire@mit.edu). : Department of Mathematics, 2008. – 25 с.

[3] pkrysl@ucsd.edu [Электронный ресурс] = Natural Hierarchical Refinement for Finite Element Methods / P. Krysl, E. Grinspun. – Режим доступа: pkrysl@ucsd.edu.

[4]  Hierarchial Bases and the Finite Elevent Method / R.F. Bank. – Department of Mathematics, University of California : Department of Mathematics, 1997. – 43 с.

[5] Generalized hierarchical bases for discontinuous Galerkin discretizations of elliptic problems with highly varying coefficients / J. Kraus, S. Margenov. – Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, : Department of Mathematics, 2008. – 25 с.

[6] Analysis of a Multiscale Discontinuous Galerkin Method for Convection Diffusion Problems / A. Buffa, T.J.R. Hughes, G. Sangalli. - Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche del C.N.R. Via Ferrata 1, 27100 Pavia, Italy. – 22 с.

[7] Robust smoothers for high order discontinuous Galerkin discretizations of advection-diffusion problems / Guido Kanschat / Texas A&M University, Department of Mathematics, College Station, TX 77843-3368. – 11 с.

[8] Runge-kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems / Bernardo Cockburn . – 78 с.

[9] Symmetric interior penalty DG methods for the compressible navier-stokes equations  : method formulation / Ralf Hartman and Paul Houston / International journal of numerical analysis and modeling / 20c.

[10] Error Estimates for a DG methods to elliptic problems / Beatrice Riviere and Mary F.  Wheeler / Center for subsurface modeling, TICAM, yhe university of Texas / 19 c.

[11] Stabilization of the baumann-oden DG formulation: the 3d case / Paola F. Antonietti, Franco Brezzi and L. Donatella Marini / 12c.

[12] Superconvergence of Discontinuous Galerkin and Local Discontinuous Galerkin Schemes for Linear Hyperbolic and Convection Diffusion Equations in One Space Dimension / Yingda Cheng and Chi-Wang Shu / Department of Mathematics and ICES, University of Texas, Austin, TX 78712/ 36c.

[13] Stability analysis and a priori error estimates to the third order explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin Method for scalar conservation laws / Qiang Zhang and Chi-Wang Shu /33c.

[14] A multiscale discontinuous Galerkin method with the computational structure of a continuous Galerkin method / Thomas J.R. Hughes , Guglielmo Scovazzi , Pavel B. Bochev , Annalisa Buffa / www.elsevier.com/locate/cma. - 27c.

[15] Discontinuous Galerkin approximation of two-phase flows in heterogeneous porous media with discontinuous capillary pressures / A. Erna, I. Mozolevskia, L. Schuhc / 25c.

[16] DG methods for advection-diffusion-reaction problems / Blanca Ayuso and L. Donatella Marini / 27c.

[17] Adaptive DG approximations of second-order elliptic problems / Ohannes A. Karakashian and Frederic Pascal / Department of mathematics , The university of Tennessee / 17c.

[18] The Hierarchical Basis Multigrid Method / Randolph E. Bank, Todd F. Dupont , Harry Yserentant / 42 c.

[19] Современные многосеточные методы часть 1: многомасштабные методы / Ю. И. Шокин , Э. П. Шурина и Н. Б. Иткина / НГТУ / 64c.

[20] Triangular mesh methods for the neutron transport equation /Reed H. and Hill T. / Los Alamos Scientific Laboratory, 1973.