Алгебраические числа

     Если  вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. 

     Пример:

1. Минимальным многочленом для является x³-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.

 

Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами. 

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде:

                    F(x)=f(x)g(x)+r(x)

где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана. 

Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

     Доказательство:

Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)=w(x)j(x), w(x)j(x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.

     Из  равенства w(x)j(x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел w(x) и j(x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например w(x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена w(x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана. 

Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n.

Доказательство:

Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными  коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где  c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана. 

     Пример:

     Пусть p – простое число.

       при любом простом целом  a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена.

     x^p-a=0

     Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен  для z, то все корни z₁, z₂, … z_n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z.

     Один  из корней совпадает с z, будем ставить  его на первое место, т.е. z=z₁. 

   2.3. Поле алгебраических  чисел

Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b¹0) являются алгебраическими числами.

Доказательство:

1. Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a₁, a₂, … ,a_n, a и b - корень многочлена j(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b₁, b₂, … b_m (b=b₁). Рассмотрим многочлен:

          F(x)= (x-(a_i+b_i))=

          = (x-a₁-b₁) (x-a₁-b₂) … (x-a₁-b_m)

                (x-a₂-b₁) (x-a₂-b₂) … (x-a₂-b_m)

          - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

                (x-a_n-b₁) (x-a_n-b₂) … (x-a_n-b_m) (2)

     Если  в этом произведении сделать какую  угодно подстановку величин a₁, a₂, … ,a_n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b₁, b₂, … b_m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m.

     Согласно  известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a+b=a₁+b₁, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2. Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен:

          F(x)= (x-a_ib_i) (3)

     Этот  многочлен имеет в качестве одного из своих корней a₁b₁=ab.

3. Пусть b - корень многочлена j(x)=b₀xⁿ+ b₁x^n-1+ … b_n, (b_i – целые числа). Тогда -b является корнем многочлена с целыми коэффициентами.

     j(-x)=(-1)ⁿb₀xⁿ+(-1)^n-1b₁x^n-1+ … bⁿ, а при b¹0 корень многочлена xⁿj( )=b₀+b₁x+ … b_nxⁿ. Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются -b и .

     Разность  может быть представлена в виде a+(-b), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b¹0 частное , являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

     Если  степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j(x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и ab алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j(x), j(-x), и xⁿ одинаковой степени, а, следовательно, b, -b, - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и a-b и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана. 

     Пример:

     1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если a= , то a²=5+ , 2⁴-10a²+1=0, т.е. a корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x- )(x- )(x+ )(x+ ) (4)

     Из  теоремы единственности над полем  рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени.

     2) a= и b= , как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ab= - алгебраическое число 3-й степени.

III. Рациональные приближения

алгебраических  чисел. 

     3.1. Теорема Лиувилля.

     Алгебраические  числа не могут иметь слишком  хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического  числа рациональной дробью не может  быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби.

     Для алгебраического числа 1-й степени  существует постоянная c>0, такая, что  для любой рациональной дроби  , отличной от a, будет выполняться неравенство:

                           (5)

     Для алгебраического числа 2-й степени  можно подобрать c>0, такое, что для  любой рациональной дроби, будет  иметь место неравенство:

                           (6)

     В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема: 

Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа a степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от a, такое, что для всех рациональных чисел ( ¹a) будет иметь место неравенство: