Задачи управления запасами

Задачи управления запасами

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования  запасов:

• необходимость гарантирования бесперебойности  питания производственного процесса с целью обеспечения его непрерывности;

• периодичность производства отдельных видов ресурсов у поставщиков:

• особенности доставки ресурсов от поставщика до потребителя (несо ответствие грузоподъемности транспортных средств  и размеров по требления);

• несовпадение ритма производства и поставок производственных ре сурсов с ритмом их потребления.

Задачи управления запасами по наличию  того или иного признака раз-1елить:

. 1. По количеству управляемых периодов (пополнения запасов) - на од-нопериодные и многопериодные. Если пополнение запасов произво-,  дится в системе один раз, такая задача называется однопериодной, в противном случае - многопериодной. Так, например, самолет может один раз заправиться и сделать еще дополнительный запас горючего ^  или у него есть возможность подзаправляться во время промежуточ-'  ных посадок.

2. По характеру пополнения запасов - с непрерывной системой пополнения запасов (мгновенное) и периодической (с задержкой). Если при уменьшении запаса до определенного уровня происходит его пополнение, то мы имеем задачу с непрерывным пополнением. При этом необходим постоянный контроль за уровнем запаса. Разновидностью такой системы является система «двух бензобаков» («двух бункеров», «двух складов»). Один из бензобаков (бункеров, складов) выдает за-' пас (горючее) только в том случае, если кончается запас в другом. Одновременно подается сигнал о необходимости пополнения бензо-' баков (бункеров, складов).

3. По учету характера спроса - на детерминированные и вероятностные (статистические). Если невозможно точно предсказать спрос с момента поступления запаса до момента его пополнения, то имеем вероятностную задачу управления запасами, в противном случае - детерминированную. Так, если неизвестны особенности маршрута движения автомашины (состояние дороги, уклоны, подъемы,...), практически не-' возможно точно предсказать расход горючего.

4. По количеству типов ресурсов - на однопродуктовые и многопродуктовые. Если запас включает несколько видов продукции, то имеем многопродуктовую задачу управления запасами, в противном случае -однопродуктовую. Так, если для автомашины кроме бензина будем учитывать расход масла, то это будет уже многопродуктовая задача.

5. По виду целевой функции - на задачи с пропорциональными и непропорциональными затратами. Если издержки производства на единицу продукции постоянны и весь объем спроса в конечном счете удовлетворяется, то мы имеем дело с пропорциональными затратами,

в противном случае - с непропорциональными. Так, затраты на 1 км пробега автомашины могут быть постоянными, а могут  быть переменными (например, зависят  от дальности поездки).

6. 770 величине удовлетворения спроса - на задачи с полным удовлетворением и с неполным. В последнем случае поставляемая партия ресурсов меньше потребной, из-за чего возникают убытки от простоя.

Рассмотрим некоторые из задач  управления запасами.

Задача управления запасами при удовлетворении спроса

Постановка  задачи

Пусть месячная потребность предприятия  в каком-либо материале (песок, щебень, цемент, ...) составляет Q единиц (м^ т, ...). Расход его во времени происходит равномерно. Необходимо определить, какова должна быть величина поставляемой партии материалов, чтобы суммарные затраты на создание и хранение запаса были минимальны.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Обозначим через Сх затраты на хранение единицы материала в единицу времени, а через Cd - затраты на доставку партии материалов. Рассмотрим два варианта: а) когда затраты Cd не зависят от количества материалов в поставляемой партии; б) когда существует линейная зависимость Cd от величины партии S:

Cd = Cd+Cdl • S.

Предполагается, что все партии состоят из одинакового числа  единиц материала. Изобразим графически движение запасов (рис. 3.8) в течение

времени (месяца) Т. Промежуток времени (период) от момента поставки партии материала до момента ее израсходования обозначим через t.

Количество партий материалов, необходимых  для удовлетворения месячной потребности  в сырье п, можно определить по формулам:

Рис. 3.8. График пополнения и расходования запасов

nl=Q/S;    n2=T/t.

' Затраты на хранение одной партии материалов составят: \ Yx=Cx-S-t/2.

, Затраты на доставку одной  партии материалов составят: I Yd = Cd - для первого варианта; ^ Yd = Cd + Cd\ ' S - для второго варианта. Г Суммарные месячные расходы Y на хранение материала и доставку ^а период Т для первого варианта затрат на доставку будут записаны так:

I Y\=Yx-nl+Yd'n\=Cx-S-t/l'Tit+Cd'Q!S. 1 Суммарные месячные расходы Y на хранение материала и доставку ^а период Т для второго варианта затрат на доставку будут записаны так:

I Y2=Yx'n2+Yd-n\=Cx'S-t/2-T/t+(Cd+Cd\- S)-Q/S. ^

Решение задачи традиционными методами

В качестве способа определения  оптимального уровня запасов воспользуемся  дифференциальным исчислением, вычислив нужную величину методом производных. Продифференцировав целевую функцию - критерий Оптимизации Y относительно искомого параметра S - и приравняв полугенную производную dY/dS к нулю, получим следующие результаты: Для первого варианта:

^ dYI/dS-Сх-Т/2-Cd • Q/S' = О, Г откуда

s^=^~c7~QAC^r~).

Для второго варианта:

. dYI/dS=Cx'T!l-Cd\' Q/S'=0, , откуда

\S^^^~Cd\~QJ(CxT~).

Полученные выражения - одни и те же для обоих случаев, рассмотренных  выше: а) когда затраты Cd на доставку партии материалов не зависят т величины поставляемой партии S; б) когда Cd линейно зависят от ветчины S.

Это выражение, с помощью которого можно найти оптимальную вели-ину поставок и определить наиболее подходящие моменты времени по-олнения запасов, носит название формулы Вильсона:

т   /2-Т'С^ t   -S   ——^ opt   opt о \ Q.C  ' V     х

Решение задачи с использованием системы Mathcad Для построения математической модели в Mathcad сформируем начальное выражение критерия оптимизации с использованием жирного знака равенства (комбинация клавиш Ctrl+-).

Далее определим составляющие критерия оптимизации. Для ввода первого  выражения выберем пункт меню View (Вид) главного меню Mathcad. В появившемся падающем меню щелкнем по пункту Toolbars (Панели инструментов). Потом в появившемся всплывающем меню выберем пункт Symbolic (Символы). В возникшей панели инструментов Symbolic щелкнем по кнопке substitute (подставить). Появится шаблон оператора присваивания с метками, вместо которых введем первое выражение с жирным знаком равенства, например:

1 Т п1=—,

используя кнопку с изображением жирного  знака равенства на панели Evaluation (Вычисления) или комбинацию клавиш Ctrl+=. Затем снова щелкнем по кнопке substitute (подставить) на панели Symbolic (Символы) и введем второе выражение и т.д. до тех пор, пока не разместим все нужные выражения. После этого нажмем на клавишу Enter и получим развернутое выражение критерия оптимизации - искомую математическую

модель.

Продифференцируем полученное выражение  Y относительно искомого параметра S. Чтобы заново не набирать его, выделим выражение с помощью комбинации Shift+стрелки и скопируем, нажав на клавиши Ctrl+lns. Щелкнем мышью там, где будет расположено выражение для дифференцирования, затем по кнопке с изображением знака интеграла и дифференциала на панели Math (Математика). Появится панель Calculus (Матанализ). Щелкнем по кнопке d/dx. На рабочем листе появится шаблон оператора дифференцирования с двумя метками для ввода искомой переменной и выражения. На месте нижней метки поместим имя искомой переменной в нашей задаче - S, на месте верхней - развернутое выражение критерия оптимизации, нажав комбинацию Ctrl+V или Shift+lns. Затем вставим знак символического равенства (стрелка вправо) - правый верхний знак на панели инструментов Evaluation - или нажмем комбинацию Ctrl+. (точка). В заключение воспользуемся клавишей Enter.

Далее полученное после дифференцирования выражение приравняем к нулю и решим уравнение относительно искомого параметра S. Для этого нажатием клавиш (Shift+стрелки влево или вправо) выделим результат дифференцирования или проведем по нему указатель мыши с нажатой левой кнопкой. Далее скопируем (Ctrl+lns) результат дифференцирования,

укажем щелчком мыши место формирования уравнения и вставим в него скопированную часть (Shift+lns).

Далее с помощью комбинации клавиш Ctrl+= введем знак булева равенства (жирный знак «равно») и число 0 (ввод можно и не производить). Затем нажмем комбинацию Ctrl+Shift+. или щелкнем по правой верхней кнопке (метка и стрелка вправо) на панели Symbolic (Символы). Появится шаблон - метка и стрелка вправо. Вместо метки необходимо ввести ключевое слово solve (решить), а затем напечатать запятую. Появится новая метка, вместо которой необходимо ввести имя искомой переменной, затем нажать клавишу Enter. Если все действия были выполнены правильно, появится решение уравнения относительно искомой переменной - выражение для определения оптимального размера поставляемой партии Sept.

На рис. 3.9 представлены результаты решения задачи, когда затраты  Cd на доставку партии материалов не зависят от величины поставляемой партии, а на рис. 3.10 показаны итоги решения, когда затраты Cd линейно зависят от величины S поставляемой партии материалов: Cd=Cd+Cdl-S.

Исследуя результаты аналитического решения задачи управления запасами при удовлетворении спроса, когда  затраты Cd на доставку партии

Рис. 3.9. Решение задачи с использованием системы Mathcad, первый вариант

Рис. 3. ] 0. Решение задачи с использованием системы Mathcad, второй вариант

материалов не зависят от величины поставляемой партии (рис. 3.9) и когда  Cd линейно зависят от величины S, мы хорошо видим, что конечный результат не изменяется. Квадратное уравнение имеет два решения, из которых выбираем одно - положительное. Как можно заметить, система Mathcad обеспечивает его наглядность.