Модель хищника и жертвы

 

Молдавский  Государственный Университет

Факультет Математики и Информатики 
 
 
 
 
 

Лабораторная  работа №2

По курсу: Сети Петри

Тема: „Модель хищника и жертвы.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:       Проверил:

Студент гр.I-22      Доцент кафедры TP

Ситинский Юрий      A.Prepelita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кишинёв 2011 

Задание: 

Задано дифференциальное уравнение, моделирующее реальную систему  взаимодействия хищника и жертвы:

x’  = ax - bxy

y’  = cxy - ky 
 

, где  x – количество первой популяции рыб

      y – число акул

      а – коэффициент, описывающий постоянную скорость роста рыб

      b -  коэффициент, описывающий количество съеденной рыбы

      с – скорость размножения акул

      к – естественная смерть акул 

Необходимо исследовать  модель и динамику популяции при  различных коэффициентах. Изменить модель и подобрать коэффициенты так, чтобы достигалась наибольшая достоверность (как в природе).  
 

Цель  работы

Проведение анализа  работы модели “Хищник-жертва” с различными коэффициентами с помощью программы VisualHybridPetriNet. 

Общие сведения: 

   Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных систем, зависящих от времени, в частности, для описания и исследования экономических и биологических систем. В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.  При верных коэффициентах процесс имеет колебательный характер Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр.  
 
 

Практическая  часть:

    
    Рассмотрим модель системы для a=4, b=2.5, c=1, k=2 и графики ее решения с начальным условием x(0)=3, y(0)=1, построенные программой VisualHybridPetriNet: 

 
 
 
 

 

 

    Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3 : 1 , обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b=2.5 , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x =2, число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величиныy=1.6. С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и ... процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников.  

    Интересно то, что система имеет стационарное состояние в точке x=2, y=1.6. Если в начальный момент система находилась в стационарном состоянии, то решения x(t), y(t) не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Пример стационарного состояния можно увидеть на следующих графиках: 

 

Рассмотрим модель конкурирующих видов с “логистической поправкой”: 

x’  = ax – bxy – Logic * x²

y’  = cxy – ky – Logic * y² 
 

, где  x – количество первой популяции рыб

      y – число акул

      а – коэффициент, описывающий постоянную скорость роста рыб

      b -  коэффициент, описывающий количество съеденной рыбы

      с – скорость размножения акул

      к – естественная смерть акул

      Logic – коэффициент логической поправки 

В этом случае поведение  решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра Logic. 

Рассмотрим модель системы для a=4, b=2.5, c=1, k=2, Logic=0.001 и графики ее решения с начальным условием x(0)=3, y(0)=1, построенные программой VisualHybridPetriNet. 

 

 

Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения — в затухающие колебания. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близким к стационарному и стремится к нему при  . 

Вывод:

    В ходе работы была проанализирована и изучена модель “Хищник-жертва”. Было выявлено, что правильно устанавливая параметры модели, а именно коэффициенты a,b,c,k, можно получить модель динамики популяции хищников(акул) и жертв(рыбы).  Добавив логическую поправку Logic, модель приобрела более достоверный характер, отражающий реалистичную картину динамики популяции акул и рыб в природе.