Вероятность случайных событий. Распределение случайных величин

     Федеральное агенство по образованию

     ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

     «РЫБИНСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

     АКАДЕМИЯ  им. П.А. Соловьева» 

     Социально – экономический факультет

     Кафедра: физики 
 

     РЕФЕРАТ 

по дисциплине: «Концепции современного естествознания»

на тему: «Вероятность случайных событий. Распределение  случайных величин. Статистическая интерпретация газообразного состояния  вещества» 
 
 

     Студент группы      ЗКП-09                                                  Капустин С.А.

     Преподаватель                                                                      Гурьянов А.И. 
 
 
 
 
 

     Рыбинск 2009

     Содержание: 

     Вероятность случайных событий…………………………………………3

     Распределение случайных величин……………………………………...11

     Статистическая  интерпретация газообразного состояния  вещества…..14

     Выводы…………………………………………………………………….19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Вероятность случайного события 

     Наблюдения  показывают, что при регистрации  массовых однородных событий удается  ввести количественную меру реализации случайного события, называемую вероятностью события Р. Знание этой величины чрезвычайно важно для принятия решений. Например, уровень надежности средств воздушного транспорта настолько высок, что вероятность погибнуть в аварии пассажирского самолета сопоставима с вероятностью погибнуть от непредсказуемой житейской ситуации в быту, на улице, на службе и т.п.

     Представим  себе, что из N равновозможных независимых случайных событий интересующее нас событие реализуется n раз. По определению вероятностью называют величину

     

     Итак  вероятность Р обладает следующими свойствами:

    1) Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: " камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".

    Противоположностью  достоверного события является невозможное  событие - то, которое в данном опыте  вообще не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".

    Если  приписать достоверному событию  вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные будут  характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую-то долю единицы. Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей - числа от нуля до единицы: 0 1.

    2) Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.

    Событие называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю: Р = 0

    Пример: Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":

    "Мой  дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным.

    Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в  точности равна единице, но очень близка к единице: Р = 1.

     Вследствии  сказанного, приведем пример более сложного характера. Представим себе сосуд с газом объемом V, в котором среди всех молекул есть одна молекула с радиоактивной меткой. Поставим вопрос: какова вероятность события, что меченая молекула в данный момент находится в некоторой выделенной части объема DV? В принципе задачу можно было бы решить так. Зафиксировать все промежутки времени t_i, в течение которых молекула находится в объеме DV, и полное время наблюдений t. Тогда

                                                   .

     Однако, поскольку молекула с равной вероятностью может находиться во всех частях объема, то вероятность указанного события

      .

    В дальнейшем окажутся полезными две теоремы.

    Непосредственный  подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться  затруднительным. Поэтому для определения  вероятности события бывает выгодно  представить данное событие в  виде комбинации некоторых других, более простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким – либо образом связанных с первыми. Начнём с теорем, которые образуют группу с общим названием «теоремы сложения».

     Первая теорема. Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:     P(A U B)=P(A)+P(B).

     Доказательство.

     Обозначим исходы, благоприятные для события  А, через а₁,а₂,…,а_m , а для события В – через b₁,b₂,…,b_n. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p₁,p₂,…,p_m и q₁,q₂,…,q_n . Тогда событию A U B благоприятны все исходы a₁,a₂,…,a_m , b₁,b₂,…,b_n . В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события АUB равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.

     P(AUB)=p₁+p₂+…+p_m+q₁+q₂+…+q_n.

     Но  p₁+p₂+pm=P(A), q₁+q₂+q_n=P(B), а потому

     P(AUB)=P(A)+P(B).

     Теорема доказана.

   Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

     Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.

     Поэтому по теореме 1 имеем:

     P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.

     Вторая  теорема утверждает, что если имеются 2 независимых случайных события А и В, реализующиеся с вероятностями Р(А) и Р(В), то вероятность события Д, означающего что произойдут одновременно А и В, равна произведению вероятностей Р(Д)=Р(А)×Р(В).

     Пусть события а₁, а₂, ..., а_к – полный набор в системе случайных событий, тогда вероятность Р = Р(а₁)+Р(а₂)+...+Р(а_к)=1 т.к. а₁, а₂, ..., а_к есть достоверное событие (этот набор включает в себя достоверное событие). При решении задач на расчет вероятностей событий часто используются сведения из комбинаторики (раздел математики).

     Имеется большое число задач, в которых  вычисление вероятностей выполняется с помощью комбинаторных формул (раздел математики). Рассмотрим основные комбинаторные формулы.

     1. Перестановки. Пусть имеется различных объектов . Эти объекты перенумерованы, и следовательно, образуют последовательность (или упорядоченное множество). Поменяем местами два объекта и . Тогда получим новую последовательность . Затем можно в исходной последовательности на первое место поставить , а объект соответственно на третье и т.д., получая каждый раз новую последовательность из объектов. Разные последовательности отличаются только порядком следования объектов, поэтому в общем случае последовательность, полученная при перестановке объектов, имеет вид: .

     Возникает вопрос, чему равно число разных последовательностей  ? (Или просто чему равно число перестановок?) Ответ может быть получен путем следующих рассуждений. Объект можно выбрать способами, то есть в качестве можно взять любой объект среди . Если выбран, то можно выбрать способом, поскольку в исходной последовательности осталось объектов, каждый из которых может быть выбран в качестве второго объекта новой последовательности и т.д. Всего, таким образом, существует способов образовать последовательность , выбирая объекты из совокупности . Число называется числом перестановок разных объектов.

     2. Размещения. Усложним условие задачи. Пусть имеется различных объектов . Чему равно число разных последовательностей вида , , полученных при извлечении объектов из исходной последовательности разных объектов?

     Аналогично  как и в первой задаче, в данном случае объект можно выбрать способами. Если выбран, то объект можно выбрать способом и т.д. Наконец, объект можно выбрать способом. Таким образом, всего существует

         (1)

     способов  образовать последовательность из объектов, выбирая объекты из совокупности . Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: сколько существует способов размещения из различных объектов по местам. Число (1) называется числом размещений из по . Отметим, что при из (1) следует .

     3. Сочетания. Пусть имеется различных объектов , из которых выбирается объектов , образующих множество . Сколькими способами можно образовать множество ?

     В отличие от размещений результатом  извлечений объектов из совокупности является не последовательность, а множество . В последовательности важен порядок расположения элементов, так две последовательности и — разные, они различаются расположением элементов и . Если рассматривать два множества и , то эти множества одинаковые: , поскольку порядок расположения элементов на множестве не имеет значения. Важен только вопрос: содержится элемент в данном множестве или нет? Таким образом, данная задача отличается от задачи на число размещений тем, что извлекаемые объектов образуют множество , на котором не важен порядок расположения объектов, а важен только факт наличия или отсутствия элемента в множестве .

     Сочетанием  из элементов по называется любое подмножество из элементов множества, содержащего элементов. Число всех сочетаний обозначается записью . Наша задача сводится к нахождению числа . Если, извлекая объекты из совокупности , строить из них последовательность , то есть учитывая расположение объектов, то число разных последовательностей равно числу - размещений из по . В данной задаче интерес представляет множество , для которого разный порядок расположения заданных элементов дает одно и то же множество. Число перестановок разных элементов равно . Поэтому число размещений в больше числа сочетаний . Из (1) следует