Влияние факторного признака на результаивный

1.2. Типовой пример выполнения индивидуальной работы по теме 1

 

Задание:

По исходным данным, характеризующим территории региона за 199х год необходимо¹:

1. Построить поле корреляции.
2. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить  линейное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить  тесноту связи с помощью показателей  корреляции и коэффициента детерминации;

в) оценить  качество линейного уравнения с  помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера;

е) оценить  статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

3) Проверить  результаты, полученные в п.2 с  помощью ППП Exel.

4) Рассчитать  параметры показательной парной  регрессии. Проверить результаты  с помощью ППП Exel. Оценить статистическую надежность указанной модели с помощью F-критерия Фишера.

5. Обосновано  выбрать лучшую модель и рассчитать  по ней прогнозное значение  результата, если прогнозное значение  фактора увеличится на 5% от среднего  уровня. Определить доверительный  интервал прогноза при уровне  значимости γ = 0,05.

 

Решение:

Для нашего примера 

Результативный  признак (у) – урожайность картофеля, ц/га

Факторный признак (х) – доза внесения органических удобрений, ц/га

 

Таблица 1.1. – Исходные данные для анализа

№ региона	Доза внесения удобрений, ц/га х	Урожайность картофеля, ц/га у
1	115	250
2	98	249
3	105	242
4	109	193
5	102	256
6	116	215
7	97	200
8	92	240
9	112	228
10	110	230
11	104	235
12	100	221
13	95	249
14	98	220
15	107	245
16	106	260

 

1. Построим поле корреляции, для чего отложим на плоскости в прямоугольной системе координат точки (x_i  y_i) (рис.1.1).

 

Рис. 1.1. Поле корреляции

Расположение  точек на графике не позволяет  точно определить тип уравнения  регрессии. Для выявления типа зависимости  воспользуемся экспериментальным  методом.

 

2. Для расчета  параметров линейной регрессии  построим расчетную таблицу (табл.1.2)

 

Таблица 1.2. – Расчетные значения

№	х	у	xy	х2	у2	,	·100%, (Ai, %)
1	115	250	28750	13225	62500	230,464	7,814	381,657	118,266	8,114	278,473
2	98	249	24402	9604	62001	234,917	5,656	198,335	37,516	2,574	246,098
3	105	242	25410	11025	58564	233,083	3,685	79,507	0,766	0,053	75,473
4	109	193	21037	11881	37249	232,036	20,226	1523,775	23,766	1,631	1625,098
5	102	256	26112	10404	65536	233,869	8,645	489,776	4,516	0,310	514,723
6	116	215	24940	13456	46225	230,202	7,071	231,101	141,016	9,675	335,348
7	97	200	19400	9409	40000	235,179	17,589	1237,547	50,766	3,483	1109,723
8	92	240	22080	8464	57600	236,488	1,463	12,331	147,016	10,087	44,723
9	112	228	25536	12544	51984	231,250	1,425	10,561	62,016	4,255	28,223
10	110	230	25300	12100	52900	231,774	0,771	3,146	34,516	2,368	10,973
11	104	235	24440	10816	55225	233,345	0,704	2,738	0,016	0,001	2,848
12	100	221	22100	10000	48841	234,393	6,060	179,372	17,016	1,167	151,598
13	95	249	23655	9025	62001	235,703	5,340	176,819	83,266	5,713	246,098
14	98	220	21560	9604	48400	234,917	6,780	222,513	37,516	2,574	177,223
15	107	245	26215	11449	60025	232,559	5,078	154,768	8,266	0,567	136,598
16	106	260	27560	11236	67600	232,821	10,453	738,678	3,516	0,241	712,223
Итого	1666	3733	388497	174242	876651	3733,000	108,761	5642,625	769,750	52,813	5695,438
Ср.знач	104,125	233,313	24281,063	10890,125	54790,6875	233,313	6,798	352,664	48,109
σ	6,936	18,867
σ2	48,109	355,965

 

2а. Построим  линейное уравнение парной регрессии у по х. Используя данные таблицы 2, имеем:

β= =-0,2619

 

a = =

 

Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет  вид:

 

 

Полученное  уравнение показывает, что с увеличением  дозы внесения органических уравнений на l ц/га урожайность картофеля уменьшается  в среднем на 0,2619 ц/га.

Рис. 1.2. Зависимость  между дозой внесения органических удобрений и урожайностью картофеля (линейная регрессия).

 

Подставляя  в полученное уравнение регрессии  значения x_i из исходных данных определяем теоретические (выровненные) значения результативного признака (табл.1.2).

2б.  При  линейной корреляции между х и у исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 £ r £ 1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи.

Учитывая:

      ,

оценим тесноту  линейной связи с помощью линейного  коэффициента парной корреляции

 

Связь между  факторами обратная. В соответствии со шкалой Чеддока теснота характеризуется как слабая.

Изменение результативного  признака у обусловлено вариацией факторного признака х. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции.

R²=r_ху²·100%

R²= (-0,1105)² ∙100%=0,0122∙100%=1,22%

Следовательно, вариация урожайности картофеля на 1,22 % объясняется вариацией дозы внесения удобрений, а остальные 98,78% вариации урожайности обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

= =

В среднем  расчетные значения отклоняются от фактических на 6,113%. Это значение не превышает допустимый предел, следовательно качество построенной модели высокое.

 

 Для оценки  силы связи признаков у и х найдем средний коэффициент эластичности:

.= =

Таким образом, в среднем на -0,129% по совокупности изменится урожайность картофеля от своей средней величины при изменении дозы внесения удобрений на 1% от своего среднего значения.

 

2д) Для  оценки статистической надежности  результатов используем F-критерий Фишера.

Выдвигаем нулевую  гипотезу Но о статистической незначимости полученного уравнения регрессии.

F_факт = _{= ·} (n-2)

F_факт= =0,1732

 

Сравним фактическое  значение критерия Фишера с табличным. Для этого выпишем значения критерия Фишера из таблицы «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости a=0.05» (приложение 1).

В нашем примере  k₁=1;  k=12-1-1=10.

Таким образом. F_табл.= 4,6 при =0,05.

Т.к. F_факт.< F_табл., то при заданном уровне вероятности g=0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

 

2е) Для  оценки статистической значимости  коэффициентов регрессии и корреляции  рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля a=b=r_ух =0.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и  коэффициента корреляции определяются по формулам:

 

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики принимаем или отвергаем гипотезу Но.

Если t_табл < t_факт, то Но отклоняется, т.е. a, b, r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл > t_факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b, r.

 

; ;

t_табл при уровне значимости g=0,05 и числе степеней свободы равных 12-2=10 равно 2,2281 (приложение 2).

< t_табл,    < t_табл,      < t_табл,

следовательно нулевая гипотеза о несущественности коэффициентов корреляции и регрессии  принимается , т. е. r, b и a статистически незначимы.

Для расчета  доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого  показателя:

∆a = t_табл m_a=2,2281∙29,92=66,654

∆b = t_табл m_b=2,2281∙0,3388=0,7541

Доверительные интервалы:

Для параметра a: (-5,304;  128,011)

Для параметра b: (-0,029;  1,479)

Анализ верхних  и нижних границ доверительных интервалов приводит к выводу, что с вероятностью p = 1–γ = 0,95 параметры a и b находятся в указанных пределах, причем оба параметра являются статистически незначимыми, т.к. в границы доверительного интервала попадает ноль.

3. Проверим  результаты, полученные в п.2 с  помощью ППП Exel.

Встроенная  функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии. В ходе анализа придерживайтесь следующего  порядка вычислений:

1. введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий исходную информацию для анализа;
2. выделите область пустых ячеек 5Í2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики;
3. активизируйте Мастер функций одним из способов:

а) в главном  меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

 

4) в  окне  Категория (рис. 1.3) выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК.

5) Заполните  аргументы функции (рис. 1.4):

известные_значения_у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член = 0;

 

 

Рис. 1.3. Диалоговое окно «Мастер функций».

 

статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните  по кнопке ОК.

6) В левой  верхней ячейке выделенной области  появится первый элемент итоговой  таблицы. Чтобы раскрыть всю  таблицу, нажмите на клавишу  <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>,<SHIFT>,<ENTER>.

Дополнительная  регрессионная статистика будет  выводится в порядке, указанном в следующей таблице:

Таблица 1.3.–  Регрессионная статистика

Значение  коэффициента β	Значение  коэффициента α
Среднеквадратическое  отклонение β	Среднеквадратическое  отклонение α
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое  отклонение у
F– статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная  сумма квадратов