Решение математических задач

Задача  1

     По  данным таблицы (1) построить уравнение  парной линейной регрессии:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
у - издержки обращения по отношению к товарообороту	10,0	9,0	7,5	6,0	6,3	5,8	5,4	5,4	5,2	5,0	6,0	5,5
х-товарооборот	7	10	15	20	30	45	60	65	90	120	125	140

 

    Дать  содержательную интерпретацию коэффициентов  регрессии построенных моделей. Для построенного уравнения вычислить:

    1)  коэффициент корреляции;

    2)  коэффициент детерминации:

    3)  дисперсионное отношение Фишера;

    4)  стандартные ошибки коэффициентов  регрессии;

    5)  t-статистики Стьюдента;

    6)  доверительные границы коэффициентов  регрессии.

    Все вычисления провести с использованием расчетных формул, а также с  помощью режима Регрессия модуля Анализ данных надстройки «Пакет анализа». Результаты, полученные по формулам и с помощью «Пакета анализа», сравнить между собой. 

    Решение с помощью табличного процессора Excel.

    1. Ввод исходных данных.

    2.  Подготовка данных и оформление  их в виде табл. 1.2 для расчета  оценок коэффициентов регрессии.

      

    3.Расчет  коэффициента регрессии: 

        

b1=	342,13-60,58*6,43	= - 0,022;
	5770,75-60,582

 
 

      b₀ = 6,43 – (-0,022)*60,58 = 7,784; 
 

     Построенная модель может быть   записана в  следующем виде:

У=7,784+(-0,022)х

Коэффициент регрессии b1 этой модели показывает, сто в среднем увеличение товарооборота приводит к уменьшению издержек обращения на 0,022 у.е.

     4. Расчет коэффициента корреляции  и детерминации: 

     σ_x = = 45,835;

     σ_у = = 1,502;

r =	-0,022 *	45,835	= - 0,685;
		1,502

 

     D = (- 0,685)² * 100% = 46,890 %

     5. Рассчитаем дисперсионное  отношение  Фишера:

Fрасч =	-0,6852	*10 = 8,382;
	(1 – (- 0,685)2)

 
 

     Сравнение расчетного значения F- критерия с табличным F_1;10 =4,96  для 95 %-ного уровня значимости позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

     6. Расчет стандартных ошибок по  формулам , в которых используется средняя квадратическая ошибка S_ост , вычисленная в соответствии с данными таблицы:

Sb0 =	Sост *
		n σx

     S_b0 = 1,230*263,152 / 45,835*12 = 84,762 ;

Sb1=	Sост
	σx

 

     S_{b1 = 1230 / 45,835* =  0,093;}

     7. Расчет доверительных границ  для коэффициентов уравнения  регрессии

     ∆ _b0 = 2,2281*84,762 = 188,86 ;

           ∆ _b1 = 2,2281*0,093 = 0,207 

           7,784 - 188,86 ≤ b₀ ≤ 7,784 + 188,86

                     -181,076 ≤ b₀ ≤ 196,644

            -0,022 – 0,207 ≤ b₁ ≤ -0,022 + 0,207

                        - 0,229 ≤ b₁ ≤ 0,185

        8. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характеристик с помощью «Пакета анализа» табличного процессора Excel.

         Получаем:

 

=	∑ (y – ŷ)	= 1,230
	n – m - 1

 
 

Получаем:

      Рассмотрим  показатели, объединенные названием  Регрессионная статистика (см. ВЫВОД ИТОГОВ к примеру расчета).

      Множественный   R - корень квадратный из коэффициента детерминации.

      R - квадрат - коэффициент детерминации R².

      Нормированный   R-квадрат - приведенный коэффициент детерминации R².

      Стандартная ошибка - оценка s для среднеквадратического отклонения.

      Наблюдения - число наблюдений п .

      Перейдем  к показателям,  объединенных названием  Дисперсионный анализ (см. ВЫВОД ИТОГОВ к примеру расчета).

      Столбец df - число степеней свободы. Для строки Регрессия показатель равен числу независимых переменных.

      Столбец SS - сумма квадратов отклонений.

      Столбец MS — дисперсия на одну степень свободы.

      Столбец  F - значение  F_c, равное  F-критерию Фишера.

      Столбец значимость F - значение уровня значимости, соответствующее вычисленной величине F-критерия и равное вероятности   P(F)> F_c), где F - случайная величина, подчиняющаяся распределению Фишера. Если вероятность меньше уровня значимости α (обычно а = 0.05), то построенная регрессия является значимой.

      Столбец Коэффициенты - вычисленные значения коэффициентов расположенных сверху-вниз.

      Наличие чередующихся положительных и отрицательных значений невязок на графике остатков (невязок) является косвенным признаком отсутствия систематической ошибки (неучтенной независимой переменной) в построенном уравнении регрессии.

    Сравнение результатов, полученных с помощью расчетных формул, с результатами применения инструментальных средств Excel (см. Вывод итогов к заданию) показывает их полную идентичность, что свидетельствует о правильном понимании метода построения линейных регрессионных уравнении и методики оценки его качества.

Задача 2

     На  приобретение оборудования для нового производственного участка  выделено 30 тыс. ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 70 м². Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машины типа А стоимостью 7 тыс. ден. ед., требующие производственные площади 6 м² ( с учетом проходов) и дающие 10 тыс. ед. продукции за смену,  и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. ден. ед., занимающие  площадь 12 м² и дающие за смену 5 тыс. ед. продукции. Машин типа А можно заказать не более 4 ед. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка.

Составить экономико-математическую модель двойственной задачи, решить исходную и двойственную задачи, используя надстройку Excel Поиск решений. 

РЕШЕНИЕ:

Пусть:  Х₁-  количество оборудования типа А;

          Х₂ – количество оборудования типа Б;

Таблица (2)

Тип оборудования	Стоимость, тыс. ден. ед.	Площадь, м2	Производительность, тыс. ед.
А	7	6	10
Б	2	12	5
требования	30	70

 

     Задача  имеет следующую математическую модель:

 Модель  прямой задачи:

 F = 10x₁ + 5x₂ → max

  7x₁₁ + 2x₁₂ ≤ 30;

  6x₂₁ + 12x₂₂ ≤ 70;

  Х_i ≥ 0, i = 1,2;

  х₁ ≤ 4;

  х_i – целое. 

Модель  двойственной задачи:

F = 30у₁ + 70у₂ → min

  7y₁₁ + 6y₁₂ ≤ 10;

  2y₂₁ + 12y₂₂ ≤ 5;

   У_i ≥ 0, i = 1,2;

     Пусть модель двойственной задачи на листе Excel размещены следующим образом:

 

Результат решения:

Х₁=0; х₂=0; х₂=191,25 Fmin=30.

     В отчете ПО РЕЗУЛЬТАТАМ приведены  значения неизвестных и функции, а также данные о выполнении ограничений.

Задача 3  

     На  двух складах А₁ и А₂ находится по 100 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А₁ в пункты назначения В₁, В₂, В₃, соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка одной тонны со склада А₂ в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 ден. ед. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими. 

РЕШЕНИЕ:

1. Составим таблицу (3):

 

Склады	Пункты  назначения (склады)			Запасы
	В1	В2	В3
А1	1	3	5	100
А2	2	5	4	100
спрос	66,667	66,667	66,667

 

     Данная  транспортная задача закрытого типа, так как сумма запасов горючего у поставщиков равна сумме  спроса потребителей