Побудова виробничої функції і оцінка її адекватності

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ  УНІВЕРСИТЕТ КОРАБЛЕБУДУВАННЯ

імені адмірала Макарова

Кафедра Управління проектами

 

ЗАВДАННЯ

На курсову  роботу з дисципліни

“Економіко-математичні  моделі та методи управління проектами”

Студент  групи 5171м______________________________________________

Варіант № 6______________________________________________________

Тема. Побудова виробничої функції і оцінка її адекватності______________

Структура розрахунково-пояснювальної  записки:

1. Титульний лист;
2. Завдання на курсову роботу;
3. Анотація (українською, російською);
4. Зміст;
5. Перелік умовних означень;
6. Вступ (актуальність теми, мета  та завдання , структура роботи);
7. Теоретична частина (Розділ 1)( теоретичні відомості по роботі);
8. Розрахункова частина(Розділ 2);
9. Висновки;
10. Список використаної  літератури;

Дата видачі завдання                                “______” ____________2012 року

Строк здачі студентом готової  роботи   “__28__” __листопада__ 2012 року

Керівник курсової роботи Шнейдер О.Б.____________________________

Студент Кременчук О.В__________________________________________

 

Анотація

В роботі побудовано виробничу функцію  Кобба-Дугласа та оцінено її адекватність. Побудовано графік виробничої функції та зроблено висновок. Всі розрахунки та побудова графіку здійснені в табличному процесорі Microsoft Excel. Робота викладена на 18 аркушах, складається з двох розділів (теоретичні відомості по роботі, розрахунки), містить 1 малюнок, 4 таблиці та 4 матриці.

 

Зміст

Завдання на курсову роботу.............................................................................   2 

Анотація............................................................................................................... 3

Зміст.......................................................................................................................4

Перелік умовних означень...................................................................................5

Вступ..................................................................................................................... 6

Розділ 1. Теоретичні відомості по роботі.......................................................... 9

Розділ 2. Розрахунки............................................................................................11

Висновки...............................................................................................................17

Список використаної  літератури.......................................................................18

 

Перелік умовних означень

F — об'єм випущеної продукції

K — об'єм основного капіталу (основні фонди)

L — витрати праці (чисельність зайнятих)

d, a, b — числові параметри; d>0, a, b³0

 — коефіцієнт детермінації

ср. знач. — середнє значення

 — матриця коефіцієнтів системи рівнянь (*) (права частина)

 

 (*)

 

B — матриця коефіціентів системи рівнянь (*) (ліва частина)

— зворотня матриця від матриці

sum — сума

Х — матриця, отримана в результаті добутку матриць та B (елементи , , матриці Х дорівнюють d, a, b відповідно)

 

Вступ

Актуальністьроботи: у сучасному суспільстві виробництво — важлива сфера бізнесової діяльності, основне джерело отримання благ, які необхідні для життя людини забезпечення її зростаючих потреб. Там, де люди створюють якийсь продукт, існує виробництво. Всі фірми прагнуть отримувати максимальний прибуток, для чого змушені ефективно вести виробництво, тобто використовувати такі методи, які були б вигідними які технологічно, так і економічно.

Для здійснення виробничої діяльності фірмі необхідні  фактори виробництва, які протягом виробничого циклу трансформуються  у вихідну або готову продукцію.

Виробнича функціявиражає функціональну залежність між вхідними ресурсами і випуском готової продукції (обсягом виробництва); вона підкреслює, що вихід продукції є лише функцією кількості вхідних факторів, які використовуються у виробничому процесі. За допомогою побудови виробничої функції можна більш ефективно використовувати ресурси, виявити як той чи інший фактор виробництва впливає на випуск продукції.

 

Мета  курсової роботи: Здобуття студентами навичок побудови виробничої функції (ВФ) за експериментальними даними про витрати-випуски.

 

В процесі  виконання роботи, студент повинен  виконати наступні завдання:

1. Привести виробничу функцію (ВФ) Кобба-Дугласа до лінійного виду
2. Скористатися таблицею згідно з отриманим варіантом, в якій приведені динамічні ряди по випуску продукції і витрат ресурсів
3. Визначити коефіцієнти множинної регресії по методу МНК
4. Визначити коефіцієнти множинної регресії за допомогою табличного процесора
1. Створити лист з ім'ям "Регресійний аналіз"
2. Провести математичне формулювання завдання у вигляді таблиці початкових даних
3. Запустити пакет регресійного аналізу через меню "Сервіс - Пакет аналізу - Регресія"
4. У вікні "Регресія" задати інтервали,  що містять, Y і X. Результати обробки розташувати на листі "Регресійний аналіз"
5. Здійснити зворотне перетворення
6. Визначити коефіцієнт множинної детерміації
7. Побудувати графік виробничої функції
8. Зробити висновок

Структура курсової роботи

Курсова робота містить:

• електронний файл з розрахунками у форматі Microsoft Office Excel
• вихідні дані
• таблиця коефіцієнтів
• розрахунок математичним методом
• розрахунок за допомогою надбудови «Аналіз даних»
• табулювання функції та побудова графіку поверхні
• розрахунково-пояснювальна записка
• Розділ 1. Теоретична частина
• Розділ 2. Розрахункова частина
• таблиця вихідних даних
• таблиця коефіцієнтів
• матриці коефіцієнтів
• малюнок із зображенням графіка виробничої функції

 

Розділ 1.  Теоретичні відомості по роботі

Виникнення  теорії виробничих функцій прийнято відносити до 1928г., коли з'явилася  стаття американських учених економіста П. Дугласа і  математика Д. Кобба "Теорія виробництва". У цій  статті, була зроблена спроба, емпіричним шляхом визначити вплив капіталу, що витрачається, і  праці на об'єм продукції, що випускається, в оброблювальній промисловості США.

Теорія  виробництва базується на використанні факторних моделей, що пов'язують величину результату виробництва з обсягами виробничих факторів, які обумовили  цей результат.

Найпоширенішим  видом таких факторних моделей  є виробничі функції. В загальному вигляді виробнича функція може бути представлена формулою:

 

Q= f (L,K,M,…),

 

де L, К, М — вхідні фактори виробництва: праця, капітал, матеріали та ін.

Виробнича функція, як і будь-яка економічна модель, є певним спрощенням дійсності. Наприклад, праця може описуватися  не одним числом, а сукупністю чисел, оскільки у процесі виробництва  використовуються працівники різних професій, кваліфікації, різного вікового складу тощо.

Виробнича функція показує максимально  можливий випуск продукції, який може виробити фірма при кожному конкретному  поєднанні мінімально необхідної кількості факторів виробництва.

Д. Коббом була запропонована виробнича функція  виду

 

F = dK^aL^b (1)

 

де F - об'єм випущеної продукції;

K - об'єм основного  капіталу (основні фонди);

L - витрати  праці (чисельність зайнятих);

d, a, b- числові параметри; d>0, a, b³0.

При побудові виробничої функції Кобба-Дугласа  параметри C, a, b можна оцінити за допомогою лінійного регресійного аналізу по методу найменших квадратів (МНК) :

Виробничу функцію Кобба-Дугласа (1) приводять  до лінійного виду шляхом логарифмування:

 

 (2)

 

При застосуванні МНК мета полягає в мінімізації  суми квадратичних відхилень (SSD) між  спостережуваними величинами ln(F) і  відповідними оцінками ln( ), де - теоретичне значення випуску, отримане по формулі (1)

 

 (3)

 

Введемо підстановки:

 

ln(F)=y

ln(K)=x1

ln(L)=x2  (4)

ln(d)=a

a=b,  b=c

 

C обліком підстановок рівняння (2) набере вигляду:

 

y=a+bx₁+cx₂ (5)

 

що відповідає лінійній функції  двох змінних.

Суммa квадратичних відхилень (SSD) в цьому випадку запишеться як:

 

Для того, щоб мінімізувати SSD  знаходимо  її приватні похідні по змінних а, в, с і потім прирівнюємо їх нулю.

 

 

 

 

Розкриваючи дужки і прирівнюючи  кожну похідну до нуля. Отримуємо  систему рівнянь (6):

 

 (6)

 

Вирішуємо систему (6) відносно а, в, с.

Використовуючи  зворотні підстановки (4), записуємо (1) в числовому вираженні.

Для оцінки адекватності регресивної моделі спостережуваним  величинам обсягу випуску F  розраховується коефіцієнт множинної детермінації:

 

, 

де .

Чим менше  відрізняється R² від одиниці, тим більше обґрунтовано рішення про те, що вибіркові коефіцієнти регресії можуть бути корисні для вивчення виробничого процесу.

Розділ 2. Розрахунки

Математичний метод

K	L	F	ln(K)	ln(L)	ln(F)
100	148,79	12788	4,605170186	5,002535916	9,45626251
200	170,74	23400	5,298317367	5,140141932	10,0604913
300	21,45	23605	5,703782475	3,065724645	10,06921383
400	119,75	39576	5,991464547	4,785406236	10,58597815
500	675,89	62965	6,214608098	6,516030341	11,0503343
600	82,99	52465	6,396929655	4,418720119	10,86790156
700	24,8	49223	6,551080335	3,210843653	10,80411627
800	28,99	56460	6,684611728	3,366950943	10,9412877
900	89,02	74586	6,802394763	4,488861064	11,2197081
1000	30,97	68823	6,907755279	3,433018994	11,13929327
1100	10,86	63053	7,003065459	2,385086315	11,05173092
1200	9,89	66818	7,090076836	2,291524146	11,10972778
1300	5,78	65585	7,170119543	1,754403683	11,09110229
1400	87,07	107723	7,244227516	4,466712393	11,5873184
1500	36,36	99267	7,313220387	3,593469269	11,50556847
1600	16,84	92648	7,377758908	2,823757009	11,43656264
1700	7,26	85206	7,43838353	1,982379829	11,35282713
1800	53,7	123143	7,495541944	3,983413002	11,72110156
1900	25,22	114189	7,549609165	3,227637331	11,64561025
2000	70,98	140678	7,60090246	4,262398147	11,85422887
2100	1,67	80477	7,649692624	0,512823626	11,29572671
2200	15,43	119390	7,696212639	2,736313666	11,69015072
2300	30,44	138163	7,740664402	3,415757533	11,83618943
2400	5,29	108224	7,783224016	1,665818246	11,59195843
2500	10,03	124077	7,824046011	2,305580602	11,72865762
2600	4,75	113779	7,863266724	1,558144618	11,64201325
2700	1,27	95093	7,901007052	0,2390169	11,46261064
2800	51,45	177260	7,937374696	3,940610462	12,08537286
2900	11,97	144566	7,972466016	2,48240352	11,88149143
3000	19,71	161107	8,006367568	2,981126121	11,98982402
				sum=	337,7543604

Табл. 1. Вихідні дані.

Табл. 2. Таблиця коефіцієнтів.

 

	30	212,8133419	96,03661026
=	212,8133419	1530,624618	660,8543745
	96,03661026	660,8543745	363,120446

Матриця 1. Матриця коефіцієнтів системи  рівнянь (6) (права частина).

 

	5,281743359	-0,612604215	-0,281996109
=	-0,612604215	0,074102613	0,027157371
	-0,281996109	0,027157371	0,027910527

Матриця 2. Обернена матриця для матриці 1.

 

	337,7543604
B=	2410,307632
	1072,991834

Матриця 3. Матриця коефіціентів системи рівнянь (6) (ліва частина).

 

	4,787711999
X=	0,839984796
	0,159970545

Матриця 4. Матриця, отримана в результаті добутку матриць та B (елементи , , матриці Х дорівнюють d, a, b відповідно).

 

Числовий  коефіцієнт d дорівнює:

 

 

 

За результатами розрахунків ми отримали формулу виробничої функції в вигляді:

 

 

 

Коефіціент детермінації дорівнює:

 

 

 

Середнє значення ln(F) дорівнює:

 

 

 

Розрахунок  за допомогою надбудови «Аналіз  даних»

Табл. 3. Таблиця  результатів регресійного аналізу Microsoft Excel

 

За допомогою надбудови аналіз даних табличного процесора Microsoft Excel отримано такі ж самі коефіцієнти як в математичному методі.

Виробнича функція  має вигляд:

 

 

 

Коефіцієнт  детермінації дорівнює: